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1、教堂顶部曲面面积的计算某阿拉伯国家有一座伊斯兰教堂，它的大厅拱形圆顶部需重新贴金箔装饰.据档案，大厅的顶部形状为半球面，其半径为30m.考虑到可能的损耗和其他技术因素，实际用量会比教堂顶部面积多1.5％，据此财政部门拨出了可制造5750m2有规定厚度金箔的黄金.建筑商哈桑计算了一下，觉得黄金会有盈余，于是他以较低的承包价得到了这项工程.但在施工前的测量中，工程师发现教堂顶部实际上是半椭球面，其半立轴恰是30m，而半长轴和半短轴分别是30.6m和29.6m.这一来哈桑犯了愁，他担心黄金是否还有盈余？甚至是否可能短缺？最后的结果究竟如何？应用背景计算曲面面积是常见的重积分在几何中应用
2、，其近似方法有广泛的实际用途。相关知识点1.用参数方程表示的曲面面积的计算2.二元函数泰勒公式3.定积分的近似计算（矩形法）解题方法问题归结为一个二重积分的计算，但无法求出初等函数形式的原函数；通过引进小参数后将被积函数Taylor展开取得近似解析解再进行积分；另一种方法是将积分离散化作数值积分来求结果。解题过程第一步：建立模型取椭球面中心为坐标原点建立直角坐标系，则教堂顶部半椭球面的方程可写为，其中，而其表面积为这里积分区域为:解题过程第二步：化为极坐标通过简单的计算易得引进变量代换得到（*）解题过程第三步：求积分若记，那么上面累次积分中关于的积分可以求出为（这里的情况要对表达
3、式求极限）.注意若将的表达式代入以上结果得到的是一个极为复杂的积分式.事实上,这是一个无法最终以初等函数形式来表达的积分，因此我们必须使用近似方法来处理它.考虑到这一积分形式相当复杂，我们宁可直接对原来的积分式（*）来进行处理.解题过程第四步：近似方法由于十分接近，可以引进小参数，那么面积表达式(*)成为解题过程对被积函数中关于和展开（可用二元函数的Taylor公式展开或者将函数中的看作一个整体来借助一元函数的Taylor公式进行展开），从而可得解题过程第五步：计算结果注意由于都是很小的数.可以用上述展开式的前三项近似代入原积分式，从而就能够逐项积分，求得：解题过程这样求得教堂顶
4、部表面积为（m）.加上耗损等因素，使用金箔.故哈桑在金箔上将得不敷出，从而招受损失.以上将关于小参数展开取得近似解析式的方法称为摄动法.解题过程第六步：数值积分法对于二重积分，可如同定积分那样，将区域划分为小块，然后在每个小区域上对被积函数作近似求积，再把所得的值求和.考虑矩形区域上的积分将划分作个相等的小矩形,其中分别是和方向的分点:，而,,那么小矩形上的积分可写为解题过程记，则若对这两个单积分都用梯形法，就有以及这样便可求得在D上的积分I的近似值数学实验使用Mathematica实现上述数值积分计算：将区域分成m2个小矩形键入Clear[m,n,k,h,a,b,s,R];a=
5、30.6;b=29.6;R=30.;M={4,8,16,32,64};f[x_,t_]:=a*b*Sqrt[t^2+R^2(1-t^2)*(Cos[x]^2/a^2+Sin[x]^2/b^2)];Y[i_,j_]:=k*h/4(f[x[i],t[j]]+f[x[i-1],t[j]]+f[x[i],t[j-1]]+f[x[i-1],t[j-1]]);For[n=1,n<=Length[M],n++,m=M[[n]];k=2Pi/m;h=1./m;x[0]=0;t[0]=0;数学实验For[i=1,i<=m,i++,x[i]=i*k;For[j=1,j<=m,j++,t[j]=j*h
6、]];s=Sum[Y[i,j],{i,1,m},{j,1,m}];Print[m,"",s]输出结果（s表示面积）m=4,s＝5679.78;m=8,s＝5679.86;m=16,s＝5679.82;m=32,s＝5679.82;m=64,s＝5679.81;进一步的问题试在数值积分方法中在区域的两个方向都采用Simpsom法进行近似计算，看一看要得到相应的精确程度的近似解，需要m=?
