空间图形的基本关系及公理

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1、§4.2空间图形的公理学习目标1.了解空间点，线，面的位置关系。能用数学符号语言表示2.识记空间公理1-3.并能用符号语言以条件，结论的方式书写公理3.了解公理的简单应用。观察空间长方体，说说空间点与线，点与面，线与面的位置关系CB'C'A'D'BAD阅读课本，如何用数学语言描述这些关系？观察思考例题例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.ABβαal(1)abPlβα(2)解：1）A，B，=l，a=A，a=B2)a,b,=l,al=P,bl=P,ab=P阅读思考1.什么叫公理？我们初中几何中学过哪些公理？2.公

2、理一的内容是什么？生活中那些现象可以用公理一解释？能否用图形语言和数学符号语言叙述公理？3.公理一的作用是什么？公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).图形语言表述:条件：线上两点在一个平面内，结论：线上所有点都在这个平面内；ABαa符号语言表述:A∈a,　B∈a,A∈α,Ｂ∈α，a≠α作用：说明线在面内，或点在面内阅读思考1.公理二的内容是什么？生活中那些现象可以用公理二解释？能否用图形语言和数学符号语言叙述公理？2.公理二的作用是什么？问题我们知道，两点确定一条直线，那么怎样确定一个平面呢？公理２：经过不在同一条直

3、线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面）图形语言表述:ABαＣ符号语言表述：Ａ．Ｂ．Ｃ三点不共线　有且只有一个平面α，使Ａ∈α，Ｂ∈α，Ｃ∈α认识:(1)经过一点，两点或在同一直线上的三点可有无数个平面．(2)“有且只有”指具有“存在性”和“唯一性：1、经过一条直线和这条线外一点，可以确定一个平面吗？2、经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？3、经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？思考交流注意：公理二及其推论可用来确定平面。1．两个平面重合的条件是（    ）A．有两个公共点B．有无数个公共点C．存在不共线的三个公共点D．有一条公共直线巩固练习：2．下列命题中，

4、真命题是（）A．空间不同三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．两组对边相等的四边形是平行四边形D．和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内c3．空间有四个点，其中无三点共线，可确定__________个平面．一个或四个D阅读思考1.公理三的内容是什么，请用图形语言和符号语言叙述公理？2.公理三的作用是什么？公理３如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．条件：两面共一点，结论：两面共一线．aαβP符号语言表示：作用（1）它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线；（2

5、）它可以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。例1.已知：在平面外，求证：P，Q，R三点共线.证明：（公理2）同理可证：点评：证明点共线——证明这些点同时在两相交平面的交线上ABCPRQ阅读思考1.叙述公理四的内容2.空间两条直线的位置关系有哪些？3.什么是异面直线？baab16例2如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形.(2)若AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?FGDAEBCH17例3.如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体，那么A

6、B，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对?FAHGEDCBCDBAEFGH在平面内,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补(如图1,AO∥A/O/,BC∥B/O/,∠AOB和∠A/O/B/相等,∠AOC和∠A/O/B/互补)A/O/B/ABOC定理:空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.βA/B/O/αAOBC符号语言表示：若AO∥A/O/,BC∥B/O/,则∠AOB=∠A/O/B/；或∠AOC+∠A/O/B/=180°。思考1、正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC1∩平面A1BD=M，求作点M。本题体现了转化

7、的思想，将在空间难以把握的线面交点转化为同一平面内的线线交点，确定了交点的位置。ADCBC1B1A1D1思考2：求作下列截面：ADCBC1B1A1D1(1)正方体ABCD—A1B1C1D1中，M,N分别是棱的中点，是做出平面DMN和平面A1B1C1D1的交线，试画出过D，M，N的平面截得正方体的截面形状。(2)正方体ABCD—A1B1C1D1中，试画出过其中三条棱的中点P,Q,R的平面截得正方体的截面形状。