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《2013全国高中数学联赛天津预赛试题及其解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2013年高中数学联赛天津市预赛参考答案与评分标准一.选择题(每小题6分,共36分)√()1.设函数f(x)=1−x2·
2、x−2
3、+4.考虑命题p:f(x)是奇函数;命题q:2x−1f(x)是偶函数.那么,以下结论正确的是(A).p,q(B).p,¬q(C).¬p,q(D).¬p,¬q解:注意f(x)的定义域是[−1,0)∪(0,1],所以√(4)√(2x+1)f(x)=1−x2·2−x+=1−x2·−x+2·,2x−12x−1容易看出f(x)是奇函数,不是偶函数.选(B).2.设B,C是定点且都不在平面π上,动点A
4、在平面π上且sinABC=1.那么,2A点的轨迹是(A).椭圆(B).抛物线(C).双曲线(D).以上皆有可能解:满足sinABC=1/2的A点轨迹是以B为锥顶,以BC为轴线的一个圆锥面(母线与轴线的夹角为30◦).现在,A点还需落在平面π上,从而其轨迹是圆锥面与平面π的交线,可能是三种圆锥曲线中的任何一种.故选(D).−−→−−→−−→−→3.在△ABC中,BC·BA=CB·CA,则△ABC是(A).等腰三角形(B).直角三角形(C).等腰直角三角形(D).以上均不对−−→−−→−→解:所给数量积等式可转化为B
5、C·(AB+AC)=0.若记BC的中点为D,则−−→−→−−→−−→−−→AB+AC=2AD,从而BC·AD=0.这表明BC与中线AD垂直,因此△ABC是等腰三角形.选(A).4.等差数列{a}前n项的和为S,已知S25=5,S45=25,则S65的值是nna23a33a43(A).125(B).85(C).45(D).35解:由于S25=25·a13,所以由已知条件可得a13:a23=1:5,从而a23:a33=5:9,a33:a43=9:13.现在,S65=65·a33,所以S65:a43=45:1.选(C).5
6、.如果曲线y=2sinx的两条互相垂直的切线交于P点,则P点的坐标不可能是2(A).(π,π)(B).(3π,−π)(C).(5π,−π)(D).(7π,−π)解:函数y=2sinx的图像在x=x处的切线斜率为cosxi,因此,若x和x2i212处的切线互相垂直,则cosx1cosx2=−1.不妨设cosx1≤cosx2,则从上式可得2222参考答案与评分标准第1页cosx1=−1,cosx2=1,即x1=(2a+1)π,x2=2bπ,a,b∈Z.进一步,可求出2222两条切线的交点P的坐标为(x0,y0)=((x1
7、+x2)/2,(x1−x2)/2).可见,P的横坐标与纵坐标都是π的奇数倍,且两者之差是4π的整数倍.四个选项中只有(C)不符合这一特征,故选(C).6.如果不等式x2<
8、x−1
9、+a的解集是区间(−3,3)的子集,则实数a的取值范围是(A).(−∞,7)(B).(−∞,7](C).(−∞,5)(D).(−∞,5]解:当x≥1时,原不等式成为x2−x+1−a<0,其解集中不含任何≥3的数,故当x≥3时总有x2−x+1−a≥0成立,由此得到a≤7.当x<1时,原不等式成为x2+x−1−a<0,其解集中不含任何≤−3的数
10、,故当x≤−3时总有x2+x−1−a≥0成立,由此得到a≤5.综上,a∈(−∞,5].故选(D).二.填空题(每小题9分,共54分)1.若log2log8x=log8log2x,则log4x的值是.解:由loglogx=loglogx可知(logx)3=logx>0.令logx=y,则有2882822√√(y/3)3=y,由此解得y=33.从而logx=33.422y22.设M是椭圆x+=1上的动点,又设点F和点P的坐标分别是(1,0)和43(3,1),则2
11、MF
12、−
13、MP
14、的最大值是.解:注意F是椭圆的右焦点.椭圆
15、的右准线为ℓ:x=4,则2
16、MF
17、等于M到ℓ的距离.过M作ℓ的垂线MA,再过P作MA的垂线PB,其中A,B分别为垂足.我们有2
18、MF
19、−
20、MP
21、=
22、MA
23、−
24、MP
25、≤
26、MA
27、−
28、MB
29、=
30、AB
31、,其中
32、AB
33、就是P点到右准线的距离,等于1.因此,2
34、MF
35、−
36、MP
37、的最大值为1,当M的纵坐标为1时取得.本题答案为1.3.已知x,y∈R,且x2+y2≤1,则x+y−xy的最大值是.解:由于x+y−xy=x(1−y)+y,可见固定y时,必定当x尽量大时此式才可取最大值;同样,固定x时,y也应尽量大.因此,不妨设x,y均非
38、负,且x2+y2=1.令x+y=t,则由基本不等式(x+y)2≤2(x2+y2)可√得t∈[1,2].又由t2=x2+y2+2xy=1+2xy得到xy=(t2−1)/2,故x+y−xy=t−(t2−1)/2=1−(t−1)2/2≤1,且当x=1,y=0时可取等号,故所求最大值为1.参考答案与评分标准第2页2013∑(k!π)n4.设xn=cos
