平面向量数量积的物理背景及其含义(IV)

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1、平面向量数量积的物理背景及其含义Innerproductofplanarvectors一、向量数量积的物理背景在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功我们将功的运算类比到两个向量的一种运算，得到向量“数量积”的概念。二、向量　与　的数量积的概念已知两个非零向量　与　，它们的夹角为θ，则我们把数量叫做与的数量积(innerproduct)(或内积)，记作：规定：零向量和任一向量的数量积为0.向量的数量积是一个数量，不是一个向量，那么它什么时候为正，什么时候为负？思考：·=

2、

3、

4、

5、cosθ当0°≤θ＜

6、90°时·为正；当90°＜θ≤180°时·为负。当θ=90°时·为零。·=

7、

8、

9、

10、cosθSolution：a·b=

11、a

12、

13、b

14、cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10Example1Given

15、a

16、=5，

17、b

18、=4，theincludedangleofaandbisθ=120°，finda·b。，过点B作垂直于直线OA，垂足为，则

19、b

20、cosθOABabOABab

21、b

22、cosθ叫向量b在a方向上的投影．θ为锐角时，

23、b

24、cosθ＞0θ为钝角时，

25、b

26、cosθ＜0θ为直角时，

27、b

28、cosθ=0BOAab几何意义数量

29、积a·b等于a的长度

30、a

31、与b在a的方向上的投影(projection)

32、b

33、cos的乘积.设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地OABθabB1四.数学运用例1:注意：“·”不能省略不写，也不能写为“×”，数学中“a×b”表示两个向量的向量积(或外积)a·b表示数量而不表示向量，与实数a·b不同,a+b、a-b表示向量；（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c.但是ab=

34、bc不能得到a=c(5)在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc)数量积:a·b=

35、a

36、

37、b

38、cos练习判断下列说法是否正确(×)(√)(×)(×)(√)(√)二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：其中，是任意三个向量，注：则(a+b)·c=ON

39、c

40、=(OM+MN)

41、c

42、=OM

43、c

44、+MN

45、c

46、=a·c+b·c.ONMa+bbac向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3)例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b

47、2.证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例4、的夹角为解: