平面向量数量积(III)

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1、平面向量的数量积定义：一般地，实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λ，它的长度和方向规定如下：(1)

2、λ

3、=

4、λ

5、

6、

7、(2)当λ>0时,λ的方向与方向相同；当λ<0时,λ的方向与方向相反；特别地，当λ=0或=时,λ=.已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。OBAθ向量的夹角当θ＝0°时，a与b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OABB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.OAab(1)ba40O╮(2)ab60O(4)ab(3)┐ab60O(6)ba

8、(5)ba我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算W=

9、F

10、

11、S

12、cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。定已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量

13、

14、

15、

16、cosθ叫做与的数量积（或内积），记作··=

17、

18、

19、

20、cosθararararararbrbrbrbrbrbr注意：向量的数量积是一个数量。规定:零向量与任一向量的数量积为0。向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？思考：·=

21、

22、

23、

24、cosθararbrbr当θ=90°时为零。arbr·当

25、90°＜θ≤180°时为负。arbr·当0°≤θ＜90°时为正；arbr·重要性质:特别地OABθabB1（1）e·a=a·e=

26、a

27、cos解：a·b=

28、a

29、

30、b

31、cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例1已知

32、a

33、=5，

34、b

35、=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。例２在△ABC中，BC=５，CA=８，∠C=６００，求BC.CAACB∵∠C=６００∴向量BC与CA所成的角为１２００D=5×8x(-1/2)=-20解：∴BC.CA=BCCACOS１２００例３已知a=12，b=9,a.b=-542,求a和b的夹角θcosθ=

36、a.bab=-54212×9=-22解：∵∴且θ∈[０,π]θ=π433、反馈练习：判断下列命题是否正确：（1）（3）（5）若，则对于任一非零有（2）（6）若，则至少有一个为（7）对于任意向量都有（8）是两个单位向量，则（9）若，则学生练习*.已知△ABC中,AB=a,AC=b,当a·b<0,a·b=0时,△ABC各是什么三角形？练习当a·b＜0时，cos<0，为钝角三角形当a·b=0时，为直角三角形当a·b＜0时，cos<0，为钝角三角形5.6平面向量的数量积及运算律物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功

37、．θsF，过点B作垂直于直线OA，垂足为，则

38、b

39、cosθOABabOABab

40、b

41、cosθ叫向量b在a方向上的投影．θ为锐角时，

42、b

43、cosθ＞0θ为钝角时，

44、b

45、cosθ＜0θ为直角时，

46、b

47、cosθ=0BOAab2、数量积的几何意义：3、数量积的物理意义：如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功w可用公式计算：二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：其中，是任意三个向量，注：小结：（1）e·a=a·e=

48、a

49、cos（2）a⊥ba·b=0(判断两向量垂直的依据)（3）当a与b同向时，a·b=

50、a

51、·

52、b

53、，当a与b反向时，a

54、·b=—

55、a

56、·

57、b

58、．特别地（4）（5）a·b≤

59、a

60、·

61、b

62、·=

63、

64、

65、

66、cosθararbrbr