第二章1_矩估计和极大似然估计

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1、第二章参数估计1参数估计问题假设检验问题点估计区间估计统计推断的基本问题2什么是参数估计？参数是刻画总体某方面的概率特性的数量.当这个数量是未知的时候，从总体抽出一个样本，用某种方法对这个未知参数进行估计就是参数估计.例如，X~N(,2),点估计区间估计若,2未知，通过构造样本的函数,给出它们的估计值或取值范围就是参数估计的内容.3参数估计的类型点估计——估计未知参数的值区间估计——估计未知参数的取值范围，使得这个范围包含未知参数真值的概率为给定的值.4一、点估计的思想方法设总体X的分布函数的形式已知，但它含有一个或多个未知参数：1,2,,k设X1,X2,…,Xn为总体的

2、一个样本构造k个统计量：随机变量第一节参数的点估计5当测得一组样本值(x1,x2,…,xn)时，代入上述统计量，即可得到k个数：数值称数为未知参数的估计值问题如何构造统计量？对应的统计量为未知参数的估计量61、矩方法；（矩估计）2、极大似然函数法（极大似然估计）.二.点估计的方法1.矩方法方法用样本的k阶矩作为总体的k阶矩的估计量,建立含待估计参数的方程，从而可解出待估计参数7一般地，不论总体服从什么分布，总体期望与方差2存在，则根据矩估计法它们的矩估计量分别为注:矩估计不唯一8事实上，按矩法原理，令9设待估计的参数为设总体的r阶矩存在，记为设X1,X2,…,Xn为一样本，样本的r阶

3、矩为令——含未知参数1,2,,k的方程组10解方程组，得k个统计量：——未知参数1,2,,k的矩估计量——未知参数1,2,,k的矩估计值代入一组样本值得k个数:11例1有一批零件，其长度X~N(,2)，现从中任取4件，测的长度(单位：mm)为12.6,13.4,12.8,13.2。试估计和2的值。解：由得和2的估计值分别为13(mm)和0.133(mm)212例2设总体X的概率密度为X1,X2,,Xn为来自于总体X的样本,x1,x2,,xn为样本值,求参数的矩估计。解：先求总体矩13为的矩估计量,为的矩估计值.令14例3设总体X的概率密度为求

4、的矩估计量解法一虽然中仅含有一个参数，但因不含,不能由此解出,需继续求总体的二阶原点矩15解法二即用替换即得的另一矩估计量为得的矩估计量为用替换即16矩估计的优点不依赖总体的分布，简便易行只要n充分大，精确度也很高。矩估计的缺点矩估计的精度较差；要求总体的某个k阶矩存在；要求未知参数能写为总体的原点矩的函数形式17注意：1.总体不一定存在适当阶的矩。例考虑Cauchy分布，其密度函数为其各阶矩均不存在。2.对相同的参数，存在多个矩估计。例如，考虑总体是参数为的Poisson分布，18你就会想,只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率.看来这一枪是猎人射中的.先

5、看一个简单的例子:某位同学与一位猎人一起外出打猎,一只野兔从前方窜过.只听到一声枪响,野兔应声倒下.如果要你推测,是谁打中的呢？你会如何想呢？这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想.2、极大似然函数法19例:设袋中装有许多白球和黑球。只知两种球的数目之比为3:1，试判断是白球多还是黑球多。分析:从袋中有放回的任取3只球.设每次取到黑球的概率为p(p=1/4或3/4)设取到黑球的数目为X,则X服从B(3,p)分别计算p=1/4,p=3/4时，P{X=x}的值，列于表结论:X0123p=1/4时27/6427/649/641/64p=3/4时1/649/6427/6427/64定义

6、1:(1)设随机变量X的概率密度函数为f(x,),其中为未知参数(f为已知函数).若X是离散型随机变量，似然函数定义为称为X关于样本观察值的似然函数。22的样本观察值,为样本定义2如果似然函数在时达到最大值,则称是参数的极大似然估计。例1设总体X服从参数为的指数分布，即有概率密度又x1,x2,,xn为来自于总体的样本值，试求的极大似然估计.23解：第一步似然函数为于是第二步第三步经验证，在处达到最大，所以是的极大似然估计。令24例2：设X服从(0－1)分布，P{X=1}=p,其中p未知，x1,x2,,xn为来自于总体的样本值求p的极大似然估计。解:X01P1-pp得(0－

7、1)分布之分布律的另一种表达形式25令例3：设总体X服从参数为的泊松分布，即X有分布列(分布律)是未知参数，(0,+)，试求的极大似然估计。解：样本的似然函数为27从可以解出是的极大似然估计。因此28极大似然估计的优点利用了分布函数形式,得到的估计量的精度一般较高。极大似然估计的缺点要求必须知道总体的分布函数形式29其中为未知参数，若总体X的概率密度为：为样本观察值,此时似然函数为：求解方程组即可得到极大似然估计多参数