定积分内容提要与典型例题(I)

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1、第五讲定积分内容提要与典型例题一、主要内容问题1:曲边梯形的面积问题2:变速直线运动的路程定积分存在定理反常积分定积分的性质牛顿-莱布尼茨公式定积分的计算法二、内容提要1定积分的定义定义的实质几何意义物理意义2可积和可积的两个充分条件3定积分的性质线性性可加性非负性比较定理估值定理积分中值定理积分中值公式若M和m是积分上限函数及其导数牛顿—莱布尼茨公式定积分的计算法（1）换元法换元积分公式（2）分部积分法分部积分公式微积分基本公式利用对称区间上奇偶函数的性质简化定积分的计算广义积分(1)无穷限的广义积分(2

2、)无界函数的广义积分三、典型例题例求极限（1）解解练习:求极限解：原式如果能把数列的通项写成的形式，就可以利用或把数列极限问题转化为定积分的计算问题.与数列的极限有着密切联系。由以上两例可见，连续函数f(x)的定积分例证明证:令则令得故例解例.求解:令则原式例.求解:解是偶函数,例例.设解:例设求解这是型未定式的极限解由L’Hospital法则a=0或b=1将a=0代入知不合题意,故b=1.例试确定a,b的值使19例已知两曲线在点处的切线相同,写出此切线方程,并求极限解故所求切线方程为例设在上是单调递减的连

3、续函数，试证都有不等式证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立.明对于任何例设f(x)在[0,1]上连续，且满足条件例设f(x)在[a,b]上连续，且证明：方程有且只有一个根。例设f(x),g(x)在[a,b]上连续，证明证关键在于作出辅助函数F(x)则F(a)、F(b)的符号不易判别，得不出结论则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导且F(a)=F(b)=0由Rolle定理知：辅助函数法证明定积分等式——主要适用于证明在积分限中至少存在一点使等式成立的命题。①移项使一端为0另

4、一端即为②验证F(x)满足介值定理或Rolle定理注：例.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且(1)在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点,使证:(1)由f(x)在[a,b]上连续,知f(a)=0.所以f(x)在(a,b)内单调增,因此即(2)设满足柯西中值定理条件,于是存在例.设证:设且试证:则故F(x)单调不减,即原等式成立.