高等数学讲义(一)

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1、高等数学基础高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz）。用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。第1讲函数1.2函数要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。一、常量与变量先看几个例子：圆的面

2、积公式自由活体的下落距离在上述讨论的问题中，是常量，是变量。变量可以视为实属集合（不止一个元素）。二、函数的定义定义1.1设是一个非空数集。如果有一个对应规则，使得对每一，都能对应于唯一的一个数，则此对应规则称为定义在集合上的一个函数，并把数与对应的数之间的对应关系记为并称为该函数的自变量，为函数值或因变量，为定义域。实数集合称为函数的值域。看看下面几个例子中哪些是函数：15f是函数，且，，定义域，值域，一般地。f不是函数。f是函数，且，，定义域，值域。f不是函数。由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法

3、表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有轴上的点。例1求函数的定义域。解在实数范围内要使等式有意义，有即15所以函数的定义域为。例2求函数的定义域。解在实数范围内要使第一个等式有意义，有即在实数范围内要使第二个等式有意义，有或即或所以函数的定义域为。三、函数表示法函数表示法主要有以下三种⒈解析法用数学式子表示变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为解析法。例如⒉图形法在平面直角坐标系中满足一定条件的曲线图形，也可以确定一个函数关系，这种表示函数的方法称为图形法。例如表示一天内温度随时间变化的函数关系。⒊

4、列表法在实际应用中把一系列自变量值及其相对应的函数值列成表，这种表示函数的方法称为列表法。如对数函数表、三角函数表等等。15四、函数的几种属性⒈单调性请看下面两个图左边的图形表示，函数值随自变量的增加而增加，就称函数单调增加，数学上描述为：如果当任意的且时，恒有则称函数在区间内是单调上升的或单调增加的。右边的图形表示，函数值随自变量的增加而减少，就称函数单调减少，数学上描述为：如果当任意的且时，恒有则称函数在区间内是单调下降的或单调减少的。⒉奇偶性请看下面两个图左边的函数图形关于轴对称，就称函数是偶函数，数学上描述为：如果函数的定义域以

5、原点为对称，且恒满足等式，则称是15偶函数。右边的函数图形关于原点对称，就称函数是奇函数，数学上描述为：如果函数的定义域以原点为对称，且恒满足等式，则称是奇函数。例3判断下列函数的奇偶性：⑴；⑵解⑴由绝对值的性质，对任意有由此可知是偶函数。⑵由对数函数的性质，对任意有由此可知是奇函数。判断函数的奇偶性也可以利用以下结论：偶函数加减偶函数是偶函数奇函数加减奇函数是奇函数偶函数乘偶函数是偶函数奇函数乘奇函数是偶函数奇函数乘偶函数是奇函数例如，是奇函数，也是奇函数。1.3初等函数要了解初等函数，首先从以下开始一、基本初等函数我们将以下几类函数

6、称为基本初等函数，它们是⒈常数函数常数函数的图形如下15⒉幂函数幂函数的图形如下⒊指数函数指数函数的图形如下⒋对数函数对数函数的图形如下⒌三角函数15正弦函数余弦函数正切函数余切函数正弦、余弦、和正切函数的图形分别是⒍反三角函数反正弦函数反余弦函数反正切函数反正弦、反余弦、和反正切函数的图形分别是15二、函数的复合运算在介绍函数的复合运算之前，先介绍函数的四则运算：设，是两个函数，定义域分别为，，如果不是空集，那么在上可以得到以下函数这里要注意，最后一个函数的定义域要在中去掉使的点。除了函数的四则运算外，再看下面复杂一些的运算，如函数可

7、以看作由函数和构成的，这种构成方式就是一种新的运算。一般地，由两个函数和构成的对应规则称为和这两个函数的15复合函数。三、初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算而成，能用一个解析式表示的函数称为初等函数。函数不是初等函数，这类函数称为分段函数。第2讲极限与连续微积分的主要研究对象是函数，它所使用的一个重要工具就是我们要在下面介绍的——极限。极限的严格描述奠定了微积分的理论基础，而微积分学几乎所有的重要概念都以不同的极限形式来表示。2.2函数的极限一、极限的概念首先让我们看看反正切函数的图形当自变量向变化时，函数值在向靠近。

8、而且向充分接近时，函数值可以和任意靠近。我们将向充分接近说成趋于，记为。一般地，当自变量趋于时，如果函数的函数值和某个常数任意靠近，我们就称函数当趋于时以为极限（或称当趋于时，的极限是）。记为或如我们在开始