资源描述：
《线性代数 张翠莲 第2章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2章矩阵及其运算2.1矩阵的基本概念2.2矩阵的运算2.3逆矩阵2.4矩阵分块法定义1由个数排成的行列的数表,称为行列的矩阵,简称矩阵.记作2.1矩阵的基本概念2.1.1矩阵的定义2.1.2几种特殊形式的矩阵1.行矩阵与列矩阵2.同型矩阵与矩阵的相等两个矩阵行数相等、列数也相等时,称为同型矩阵.如果矩阵与矩阵是同型矩阵,且它们的对应元素相等,即那么就称这两个矩阵相等.记作3.零矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵.记作注意:不同型的零矩阵是不同的.或4.方阵行数与列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵阶方阵的元素称为主对角线元素5.上(下)三角矩阵6.对角矩阵7.单位矩阵2.2矩阵的运算2
2、.2.1矩阵的加法1.定义22.运算规律3.负矩阵4.矩阵的减法例2.2.2数与矩阵的乘法1.定义3数与矩阵的乘积记作或规定为注：与为同型矩阵2.运算规律例设求解2.2.3矩阵与矩阵的乘法1.定义4其中注意:(1)(2)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘的元素就是第一个矩阵与第二个矩阵的第列的对应元素的乘积和的第行例设求解记则,设则注：（1）矩阵的乘法一般不满足交换律,即一般来说,（2）进行矩阵乘法时,一定要注意乘的次序,不能随意改变例设求与解例设求与解注意:注：对于两个阶矩阵,若则称方阵是可以交换的.如2.运算规律(假定运算都是可行的),(其中为数)(
3、左分配律)(右分配律)3.矩阵的幂为正整数矩阵的幂满足下列运算规律注:一般来说例例例线性方程组若设则其矩阵形式为2.2.4矩阵的转置1.定义6设称为矩阵的转置矩阵.即把矩阵的行换成同序号的列得到的一个新矩阵.2.运算规律(假定运算都是可行的)如例3.定义7设矩阵为阶方阵,如果满足即那么称为对称矩阵如果满足即那么称为反对称矩阵注:(1)对称矩阵的特点是:它的元素以主对角线为对称轴对应相等(2)反对称矩阵的特点是:它的元素以主对角线为轴对应互为相反数,且主对角线元素全为零阶方阵2.2.5方阵的行列式1.定义8由(每个元素的位置不变),称为方阵的行列式.记作或.的元素所构成的行列式2.方
4、阵的行列式满足的运算规律3.奇异矩阵与非奇异矩阵当时,称为奇异矩阵;时,称当为非奇异矩阵2.2.6方阵的伴随矩阵1.定义9由阶方阵的行列式的各个元素的代数余子式所构成的阶方阵称为的伴随矩阵,简称伴随阵.例例2.方阵的伴随矩阵满足的性质(,正整数);若,则,正整数);2.2.7共轭矩阵1.定义10设为复矩阵,表示的共轭复数,记称为的共轭矩阵2.运算规律2.3逆矩阵2.3.1逆矩阵的定义及性质1.定义11设为阶方阵,若存在阶方阵,使,则称方阵可逆,称为的逆矩阵注：如果矩阵是可逆矩阵,那么的逆矩阵是惟一的的逆矩阵记作.，即满足的与互为逆矩阵即可逆,且2.3.2方阵可逆的充分必要条件及的求
5、法定理1若矩阵可逆,则,即为非奇异矩阵.定理2若,则矩阵,其中,为矩阵的伴随矩阵.由以上两定理可知矩阵可逆的充分必要条件是,即可逆矩阵就是非奇异矩阵;若可逆,则若可逆,则于是可逆,且时,矩阵推论若方阵满足(或),则都可逆,且例所以,当可逆时,矩阵不可逆当因为从而,当例例求矩阵,使解若存在,则例设阶矩阵满足,证明都可逆,并求它们的逆矩阵.证明由得于是由,知可逆,且由,知可逆,且2.3.3可逆矩阵的性质若可逆,则也可逆,且若可逆,则也可逆,且若可逆,数则也可逆,且若为同阶可逆矩阵,则也可逆,且若可逆,则也可逆,且2.4矩阵分块法1.定义用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每一个小矩阵称为
6、的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.将矩阵2.4.2分块矩阵的运算1.分块矩阵的加法与减法设矩阵为同型矩阵,采用相同的分块法,有2.数与分块矩阵的乘法3.分块矩阵的乘法的列数分别等于的行数,则4.分块矩阵的转置2.4.3分块对角矩阵都是方阵）形如称为分块对角矩阵分块对角矩阵性质若都可逆,则可逆,且例在线教务辅导网：http://www.shangfuwang.com更多课程配套课件资源请访问在线教务辅导网
