离散数学(贾振华主编) 第八章 代数结构

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1、第8章代数结构本章学习目标在计算机科学里，很多的知识和代数结构的理论有关系，比如：加法器、纠正码、形式语言和推理机等等，因此，学好该部分内容，为学习其他计算机课程打下了基础。通过本章学习，读者应该掌握以下内容：（1）二元运算的相关概念和性质（2）半群和独异点的概念及其判定（3）群和子群的概念及其性质（4）阿贝尔群和循环群的概念和性质（5）置换群和陪集的概念相关定理（6）同态与同构的概念及其判定第8章代数结构8.1二元运算及其性质8.2代数系统8.3半群和独异点8.4群与子群8.5阿贝尔群和循环群8.6置换群与伯恩赛德定理8.7陪集和

2、拉格朗日定理8.8同态与同构第8章代数结构8.1二元运算及其性质定义8.1对于集合A，一个从An到B的映射，称为集合A上的一个n元运算。如果BA，则称该n元运算是封闭的。定义8.2设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x，y∈A，都有x*y∈A，则称二元运算*在A上是封闭的。定义8.3设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x，y∈A，都有x*y=y*x,则称二元运算*在A上是可交换的。第8章代数结构8.1二元运算及其性质定义8.4设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x，y，z∈A，都有（x*y）*z=x*（

3、y*z），则称该二元运算*是可结合的。定义8.5设*、△是定义在集合A上的两个二元运算，如果对于任意的a，b，c∈A，都有a*（b△c）=（a*b）△（a*c）（b△c）*a=（b*a）△（c*a）则称运算*对于运算△是可分配的。第8章代数结构8.1二元运算及其性质定义8.6设*，#是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的a，b∈A，都有a*（a#b）=aa#（a*b）=a则称运算*和运算#满足吸收律。第8章代数结构8.1二元运算及其性质定义8.7设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果有一个元素el∈A，对于任意的元素

4、x∈A，都有el*x=x，则称el为A中关于运算*的左么元；如果有一个元素er∈A，对于任意的元素x∈A都有x*er=x，则称er为A中关于运算*的右么元；如果A中的某一个元素e，它既是左么元又是右么元，则称e为A中关于运算*的么元。显然，对于任意元素x∈A，有el*x=x*er=x。第8章代数结构8.1二元运算及其性质定理8.1设*是定义在集合A上的一个二元运算，且在A中有关于运算*的左么元el和右么元er，则el=er=e，且A中的么元是唯一的。定义8.8设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果有一个元素θl∈A，对于任意的元素

5、x∈A都有θl*x=θl，则称θl为A中关于运算*的左零元；如果有一个元素θr∈A,对于任意的元素x∈A，都有x*θr=θr,则称θr为A中关于运算*的右零元；如果A中的一个元素θ，它既是左零元又是右零元，则称θ为A中关于运算*的零元。显然，对于任一元素a∈A，有θ*a=a*θ=θ。第8章代数结构8.1二元运算及其性质定理8.2设*是定义在集合A上的一个二元运算，且在A中存在关于运算*的左零元和右零元。那么，左右零元相等，且A中的零元是唯一的。定理8.3设是一个代数系统，且集合A中元素的个数大于1。如果该代数系统中存在么元

6、和零元。则它们必然相等。第8章代数结构8.1二元运算及其性质定义8.9设代数系统，*是定义在集合A上的一个二元运算，且e是A中关于运算*的么元。如果对于A中的任一元素a，存在着A中的某个元素b，使得b*a=e，那么b为a的左逆元；同理，如果a*b=e成立，那么称b为a的右逆元；如果一个元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元，那么就称b是a的一个逆元。第8章代数结构8.1二元运算及其性质例8.10设Q是有理数集合，作笛卡尔积S=Q×Q，*是S上的二元运算。对于*=，求*运算的幺元和逆元。解

7、根据上面的运算规则*=，可以知道，运算*是由普通乘法和普通加法分别构成序偶的两个元素。对于任意元素，<1，0>*=<1*x，0+y>=第8章代数结构8.1二元运算及其性质和*<1，0>==因此，元素<1，0>为该运算的幺元。对于任意元素，当x≠0时<1/x，-y>*=<(1/x)*x，-y+y>=<1，0>*<1/x，-y>==<1，0>故，当x≠0时，<1/x，-y>

8、为元素的逆元，当x=0时，任何元素和0相乘都等于0，因此，没有逆元。第8章代数结构8.2代数系统定义8.10设有一个非空集合A，有若干个定义在该集合上的k个运算f1，f2，…，fk，如果这k个运算都是封闭的，那么有集合A连同