GDP与国债关系的数学模型

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1、兰州交通大学2014年大学生数学建模竞赛论文题目：A题GDP与国债关系的数学模型参赛组号：学校统一编号，个人不得填写论文编号：A题GDP和国债关系的数学模型摘要本文针对GDP和国债关系的问题，分别建立微分方程模型和统计回归模型加以分析，得出国债将随着GDP的增长而增长的结论。针对问题（1），根据假设GDP年均增长率为7%和国债增长率与GDP成正比，建立微分方程组dMtdt=0.07Mt和dNtdt=kMt,k>0描述增长率间的关系。针对问题（2），t0=0的初始值M0和N0，解出微分方程组，得到描述GDP的子模型Mt=M0e0.07t和描述国债的子模型Nt=kM00.07（e0.07

2、t-1）+N0,，从而建立微分方程模型。针对问题（3），考虑国债与GDP之比，即N(t)M(t)=k0.07-kM0-0.07N00.07M0e0.07t，当t趋于无穷时，有limt→∞N(t)M(t)=k0.07为与t无关的常量。从而得到，当k>0.07时有N(t)>M(t)，即如果国债增长率与GDP的比例系数k大于0.07时，国债最终会超过GDP。针对问题（4），分别用微分方程模型和统计回归模型进行分析。模型一微分方程模型：根据我国历年经济数据，令M0,N0分别等于1992的GDP和国债数据，由模型一计算20年的预测值，与实际数据进行对比。模型二统计回归模型：在由我国历年GDP和

3、国债数据作出的散点图上，GDP与国债显示出较强的线性关系，因此用线性回归的方法，建立线性回归模型N=0.0462M1-678.1164+ε，描述GDP和国债的线性关系。通过MATLAB对数据进行数据分析和图像对比，对两个模型作出比较：（1）模型一预测的国债和GDP增长趋势与实际情况相吻合，但GDP的预测值与实际数据存在较大误差。原因可能是简单的假设GDP年均增长率为7%造成的。故模型一只能进行趋势预测，不能预测数值。（2）模型二描述了GDP与国债的线性关系，计算得到国债预测值与实际数据误差较小，可以对数据进行精确预测。因此相对于模型一更为优良。两个模型均描述了GDP与国债间的关系，即

4、国债将随着GDP的增长而增长。关键词：GDP与国债关系微分方程模型统计回归模型数据拟合1.问题的提出国内生产总值[1]（GrossDomesticProduct，GDP），是一定时期内一个国家的经济中所生产出的全部最终成果的市场价值。国内生产总值是国民经济核算的核心指标也是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平的重要指标。假设GDP以年均7%的增长率增长，而国债的增长率与GDP总量成比例。(1)建立一个描述GDP和国债的数学模型；(2)假设在第0年时的GDP为M0，国债为N0，求解(1)中的数学模型；(3)用国债与GDP之比的形式，确定国债最终是否会大于GDP；(4)查阅相关资料，利用

5、(1)中数学模型就某一国家GDP与国债的关系加以分析；2.问题的分析该问题需要建立一个描述GDP与国债关系的数学模型。问题中假设“GDP以每年7%的速度增长，国债随着GDP成比例增长”，因增长率可以表示为微分，所以使用常微分方程组表示这一关系，建立微分方程模型作为模型一对该问题进行解答。考虑到现实生活中GDP的增长率是变化的，假定增长率恒定而构建的微分方程模型不够精确。因此使用我国历年GDP总量和国债发行额的数据，建立描述GDP和国债关系的统计回归模型作为模型二，用线性回归方程对数据进行拟合，分析GDP与国债的关系，并将结果与模型一进行对比，以此分析模型一的建模效果。对于问题（1），

6、由GDP和国债的增长率的关系构建常微分方程组，建立GDP和国债关系的微分方程模型作为模型一；对于问题（2），由初始值M0、N0解出常微分方程组，分别确定模型一中的表示GDP和国债增长的子模型；对于问题（3），考虑模型一中的国债子模型与GDP子模型之比，当年份t趋于无穷时，即可得出GDP与国债的最终大小关系；对于问题（4），用模型一分析我国历年GDP总量与国债发行额的数据，得出二者关系。并由历年数据建立线性回归模型作为模型二，分析GDP与国债的关系，并与模型一对比结果。3.模型假设与符号假设3.1模型假设3.1.1模型一：微分方程模型的假设17（1）GDP以年均7%的增长率增长；（2）

7、国债发行额的增长率与GDP总量成成正比，比例系数k﹥0；（3）在第0年时的GDP为M0，国债为N0。3.1.2模型二：线性回归方程模型的假设（1）经济正常发展，社会稳定；（2）国债的发行额只取决于GDP总量，忽略其他因素影响；（3）一段时期内生产力水平不会发生变化；（4）所有统计数据真实可靠。3.2符号假设Mt表示在第t年的GDP总量；Nt表示在第t年的国债发行额；M0表示在第0年的GDP总量；N0表示在第0年的国债发行额；k表示国债的增长率与GDP总量的