第13章_计算流体力学CFD(3)

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1、第13章计算流体力学CFD(3)4离散化的基本方法4.1引言引言理论上，根据偏微分方程的解能得到流场中任意点上流场变量的值。离散网格点引言实际上，我们采用代数差分的方式将偏微分方程组转化为代数方程组。离散网格点引言通过求解代数方程组获得流场中离散网格节点上的变量值。离散网格点引言从而，使得原来的偏微分方程组被“离散化”了。离散网格点引言4.2有限差分基础有限差分基础离散网格点泰勒级数展开：有限差分基础泰勒级数展开：差分表达式截断误差有限差分基础一阶向前差分：上述差分表达式用到了(i,j)点及其右边(i+1,j)点的信息，没有左边(i-1,j)点的信息，且精度为一阶有限差分基础离散网格

2、点泰勒级数展开：有限差分基础泰勒级数展开：有限差分基础一阶向后差分：上述差分表达式用到了(i,j)点及其左边(i-1,j)点的信息，没有右边(i+1,j)点的信息，且精度为一阶有限差分基础两式相减得：有限差分基础得：有限差分基础二阶中心差分：上述差分表达式用到了左边(i-1,j)点及右边(i+1,j)点的信息，(i,j)点位于它们中间，且精度为二阶有限差分基础Y方向的差分表达式：有限差分基础两式相加得：有限差分基础得：二阶中心差分（关于二阶导数）有限差分基础对Y方向的二阶导数有：二阶中心差分（关于Y方向二阶导数）有限差分基础下面求二阶混合偏导数上式对y求导得：有限差分基础下面求二阶混

3、合偏导数上式对y求导得：有限差分基础下面求二阶混合偏导数两式相减得：6有限差分基础下面求二阶混合偏导数6有限差分基础二阶混合偏导数的二阶精度中心差分有限差分基础有限差分基础有限差分基础有限差分基础有限差分基础有限差分基础有限差分基础有限差分基础有限差分基础有限差分基础二阶偏导数，四阶精度中心差分高阶精度的差分需要更多的网格点，所以计算中的每一个时间步或空间步都需要更多的计算机时间。有限差分基础在边界上怎样构造差分近似？边界网格点有限差分基础向前差分，只有一阶精度。边界网格点有限差分基础在边界上如何得到二阶精度的有限差分呢？边界网格点有限差分基础不同于前面的泰勒级数分析，下面采用多项式

4、来分析。边界网格点有限差分基础设边界网格点在网格点1，在网格点2，在网格点3，有限差分基础边界网格点得有限差分基础边界网格点对y求导得：在边界点1，有限差分基础边界网格点得：有限差分基础边界网格点根据知为三阶精度有限差分基础边界网格点故为两阶精度为三阶精度有限差分基础边界网格点为单侧差分4.3差分方程差分方程对一个给定的偏微分方程，如果将其中所有的偏导数都用有限差分来代替，所得到的代数方程叫做差分方程，它是偏微分方程的代数表示。差分方程考虑非定常一维热传导方程：差分方程差分方程差分方程差分方程偏微分方程：差分方程：截断误差：差分方程差分方程是一个代数方程，如果在右图所示区域内所有网格

5、点上都列出差分方程，就得到一个联立的代数方程组。差分方程当网格点的数量趋于无穷多，也就是时，差分方程能否还原为原来的微分方程呢？差分方程截断误差：截断误差趋于零，从而差分方程确实趋近于原微分方程。差分方程从而差分方程确实趋近于原微分方程，如果，截断误差趋于零，此时我们说偏微分方程的这个有限差分表示是相容的。差分方程原微分方程与相应的差分方程之间的区别截断误差：差分方程原微分方程的解析解与差分方程的解之间的区别离散误差：4.4显式方法与隐式方法4.4.1显式方法显式方法显式方法上述方程是抛物型方程，可以推进求解，推进变量是时间t显式方法边界条件已知显式方法边界条件已知显式方法显式方法中

6、每一个差分方程只包含一个未知数，从而这个未知数可以用直接计算的方法显式地求解。显式方法是最简单的方法。4.4.2隐式方法隐式方法克兰克－尼科尔森格式隐式方法对于排列在同一时间层所有网格点上的未知量，必须将它们联立起来同时求解，才能求出这些未知量，这种方法就定义为隐式方法。隐式方法由于需要求解联立的代数方程组，隐式方法通常涉及大型矩阵的运算。隐式方法比显式方法需要更多、更复杂的计算。隐式方法隐式方法A，B，Ki均为已知量隐式方法A，B，Ki均为已知量隐式方法在网格点2：A，B，Ki均为已知量T1为边界条件，已知量隐式方法在网格点3：A，B，Ki均为已知量在网格点4：在网格点5：隐式方法

7、A，B，Ki均为已知量在网格点6：T7为边界条件，已知量隐式方法于是有关于T2，T3，T4，T5，T6这五个未知数的五个方程A，B，Ki均为已知量隐式方法写成矩阵形式：隐式方法系数矩阵是一个三对角矩阵，仅在三条对角线上有非零元素。求解线性代数方程组的标准方法是高斯消去法。应用于三对角方程组，通常采用托马斯算法（国内称为追赶法）求解。4.4.3显式方法与隐式方法的比较显式方法与隐式方法的比较对于显式方法，一旦x取定，那么t的取值必须受到稳定性条件的限制，