常用微分公式

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1、§1-3微分公式(甲)基本函数的微分公式(1)=nxn-1，nÎN。(2)。(3)=0，其中c为常数。(4)(sinx)/=cosx(5)(cosx)/=-sinx另一种表示：(xn)/=nxn-1=(c)/=0证明：(2)设a为f(x)=定义域中的任意点，则f/(a)=====()=()(4)设a为任意实数，f(x)=sinx==计算f/(a)==()=cosa。(1)(3)(5)自证(乙)导数的四则运算(1)f(x)与g(x)为可微分的函数。f(x)+g(x)为可微分的函数。且(f(x)+g(x))=(f(x))+(g(x))成立。另一种表示：(f(x)+g(x))/=f/(x)+g/(

2、x)证明：令h(x)=f(x)+g(x)，设a为h(x)定义域中的任一点h/(a)===(+)=()+()=f/(a)+g/(a)例：求？~1-3-10~推论：(f1(x)+f2(x)+...+fn(x))=(2)设f(x)为可微分的函数。cf(x)为可微分的函数。且(cf(x))=c，特别c=-1时，(-f(x))=-。(3)，另一种表示：(f(x)-g(x))/=f/(x)-g/(x)(4)(c1f1(x)+c2f2(x)+...+cnfn(x))=c1(f1(x))+c2(f2(x))+...+cn(fn(x))例如：(1)(anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0)(2)(3

3、x5-2x3+4)/=？(5)f(x)，g(x)为可微分的函数。f(x)g(x)为可微分的函数。且(f(x)×g(x))=(f(x))×g(x)+f(x)×(g(x))另一种表示：(f(x)×g(x))/=f/(x)×g(x)+f(x)×g/(x)证明：例如：试求下面我们要推导例2的一般情形：(a)=(b)(逐次轮流微分)(c)如果，则可得~1-3-10~例如：试求的导数。[例題1]证明。(6)若f(x)，g(x)在x=a可微分，且，则。因此可得：若f(x)=1，则()/=例如：试求的导函数。例如：求()/=？例如：设为负有理数，证明。结论：若设r为有理数，则。[例題2]求下列各函数的导函数

4、：(1)(x2+2x)(x2+3x+2)(2)(x-2)3(x2-1)(3)(x2+x+1)(4x3+x-4)(x+3)(3)(4)Ans：(1)4x3+15x2+16x+4(2)(x-2)2(5x2-4x-3)(3)(2x+1)(4x3+x-4)(x+3)+(x2+x+1)(12x2+1)(x+3)+(x2+x+1)(4x3+x-4)(4)(5)~1-3-10~[例題1]请利用(sinx)/=cosx，(cosx)/=-sinx的结果证明：(tanx)/=sec2x，(secx)/=secx×tanx(練習1.)试求下列的导函数：(1)x3-6x2+7x-11(2)(x3+3x)2(2x+

5、1)(3)(x+1)(2x2+2)(3x2+x+1)(4)(2x3+x+1)5Ans：(1)3x2-12x+7(2)2(x3+3x)(3x2+3)(2x+1)+2(x3+3x)(3)(2x2+2)(3x2+x+1)+(x+1)×(4x)×(3x2+x+1)+(x+1)(2x2+2)×(6x+1)(4)5(2x3+x+1)4×(6x2+1)(練習2.)求下列各函数的导函数。(1)f(x)=(2)f(x)=(3)f(x)=(4)f(x)=Ans：(1)(2)(3)×(12x2+6x+2)(4)(練習3.)证明，(丙)连锁法则(1)合成函数：(a)设，则。，~1-3-10~所以为x的函数。(b)(

6、2)连锁法则：既然为x的函数，我们就可以讨论例：设，则利用，可得=上式并不是巧合，一般的情形亦是如此。定理：(连锁法则ChainRule)若f(x),g(y)都是可微分的函数，则合成函数亦可微分，而且。[例題1]求？一般情形：，f(x)可微分，求=?[例題2]求f(x)=sin2x的导函数。Ans：2sinx×cosx~1-3-10~[例題1]求下列函数的导函数：(1)(2)(3)Ans：(1)3tan2x×sec2x(2)-5csc5x×cot5x(3)(練習1.)设n为正整数而f(x)为可微分的函数，试用连锁律去计算(f(x))n的导函数。Ans：n(f(x))n-1×f/(x)(練習2

7、.)求(=？Ans：×(4x3+6x-1)(練習3.)Ans：(練習4.)求下列各小题y/(1)(2)(3)(4)(5)Ans：(1)(2)(3)(4)(5)(練習5.)计算下列各小题：(1)(x×)/=？Ans：(2)()=？Ans：(3)求f(x)=的导函数。Ans：f/(x)=(練習6.)设可微函数f(x)满足f()=x，则f/(0)=？Ans：2~1-3-10~[例題1]试求？(練習1.)试求的导函数