图形图像的数学表示和数字化教学ppt

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1、第一部分：图像的数学表示第一节图像的一般数学描述一、连续图像的一般数学描述非发光物体的成像不仅与摄像机的光电转换特性有关，而且还与光源强度、光源到物体的距离，入射光与物体表面法线的夹角，入射光与摄像机的夹角，物体表面法线与摄像机的夹角以及物体表面的反射率等因素有关。摄像机的成像靶面上接受到波长为的光辐射功率可表示为（4－1）黑白摄像机亮度信号与光辐射功率关系为（4－2）其中分别为摄像机感光的上、下限波长，为摄像机光谱响应函数，为可调系数。对于彩色摄像机，其R、G、B的色度值为（4－3）其中、、为摄像机对V、G、B的光谱响应函数。一般彩色摄像机

2、为了符合人眼的彩色视觉特性，其光谱响应函数设计成如图所示的特性，，，为可调系数。彩色摄像机的光谱响应函数在光源强度恒定情况下，同时所摄的物体为一静物时，则图像的亮度由式（4－2）变为（4－4）这是图像处理中常采用的表达形式。二、离散图像的数学描述对于连续图像在空间上采用图方式进行采样，并量化处理后可获得离散图像。采样函数的数学形式为（4－5）其中、为和方向上的采样点数，于是采样后的图像为（4－6）图像空间采样方式采样后，x、y是整数，所以常用i、j来表示，量化后的取值也为整数，如用8bit量化，则取值范围0－255。于是离散的黑白图像可用矩阵

3、来表示：（4－7）三、图像的随机线性模型无光照下一像素灰度值曲线光照强度下一像素灰度值曲线图像总是受到噪声干扰，因此有多种表示图像受干扰的随机模型，其中最简单的模型形式是:式中为受噪声干扰影响的图像，为表征物体未受噪声影响的图像，为干扰噪声（4－8）第二节图像几何模型一、卡笛尔坐标下的几何模型图像处理中，常利用不考虑透镜畸变的小孔摄像机模型来建立三维物体与二维图像点之间的关系，图即为用小孔摄像机模型来推导三维景物点到二维图像点的变换关系的示意图。后投影模型图4－4的成像模型约束了位于含有、和的三维线段上任何一物体点所对应的图像平面上的成像点，

4、这三点具有共线关系：（4－9）式（4－9）写成矩阵形式将（4－10）展开，得由（4－11）可以看出，物体点与其图像平面成像点之间存在着非性性关系。（4－10）（4－11）在许多应用场合，满足，这种情况称为无穷远视场（far-field）或大伸缩比假设，于是（4－11）的近似表示为：式中称为伸缩比。（4－12）二、齐次坐标下的几何模型采用齐次坐标可以统一表达许多重要的几何变换。但齐次坐标表示会有冗余信息，因此对于一个卡笛尔的物理坐标点，在齐次坐标系中不存在唯一的表示。图像点和物体点在齐次坐标中的表示和分别为：式中,且暂不考虑。通过矢量空间的维数

5、增加，可将透视投影中式（4－11）的非线性关系表示为：这里（4－14）的P1的表示不是唯一的，用一个非零标量系数与P1相乘，式（4－13）关系依然成立。（4－13）（4－14）在齐次坐标系中，选择一物体点为代入式（4－13）可得到相应的齐次坐标系下图像点的坐标为：（4－16）将齐次坐标系下的图像坐标点变换到图像坐标系下的图像点坐标，其过程为全部分量除以第四个分量，再去掉这第四个分量，得图像点坐标为：（4－17）（4－17）中x和y实际上就是（4－11）的表达式，但。为了使，只要消去P1矩阵中第三行，这样P1的维数为3×4。可以证明，矩阵P1和

6、P2的逆矩阵是存在的，因此物体点可以由图像点来确定，即：（4－18）如z未知，消去P1矩阵的第三行，这样得到一个具有不可逆关系的模型：这里是一个3×1维矢量（z是已消去），P是一个3×4维矩阵：（4－19）（4－20）下面我们将推导一种更具有一般意义的几何模型，该模型可以表示任意坐标系的条件下，图像点与物体点的几何关系。首先考虑相对坐标平移的情况，如图示，在图示地球坐标系中，物体点的坐标用上标g来表示，即点坐标地球坐标系与图像平面的平移地球坐标系的坐标与三维空间的坐标xr的关系为：式中是平移矩阵。将xr和用齐次坐标表示，有：TH为平移矩阵,这

7、是平移变换关系。（4－21）(4—22)将式（4－22）代入式（4－19），于是图像平面坐标系下的图像点与地球坐标系下的物体点，在齐次坐标下的关系为：当坐标系是旋转关系时，两个坐标系的点的坐标关系为：式中R是实现特定三维旋转的矩阵。（4－23）（4－24）通常，地球坐标系与图像平面坐标的关系是一组复杂的连续旋转和平移的变换。如果路径不同，变换矩阵的参数也可能不同。例如某个变换结果可能具有下列形式在此式中首先是旋转R3,接着是R2，然后依次是T2和R1，最后是平移T1，定义这些变换为：(4－25)于是，在地球坐标系的物体点和在图像平面中心坐标系

8、中的图像点之间的关系为：于是3×4的矩阵是透视投影变换矩阵。（4－26）作为描述物体点与图像点的关系还是用下面的简单方式，即：A是一个3×4维的矩阵，由于应用齐次坐