中国数学之二

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1、从刘徽到祖冲之中世纪的中国数学之二从公元220年（曹丕称帝，东汉分裂）到581年隋朝建立，史称魏晋南北朝。这是中国历史上的动荡时期，但同时也是思想相对活跃的时期。在长期独尊儒学之后，学术界思辩之风再起。在数学上也兴起了论证的趋势，许多研究以注释《周髀算经》、《九章算术》的形式出现，实质是要寻求两部著作中一些重要结论的数学证明。这方面的先锋，是三国的赵爽，而最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子。他们的工作，使魏晋南北朝成为中国数学史上一个独特而丰产的时期。一、刘徽的数学成就如果离开了刘徽的《九章算术注》去研究《九章算术》，则很难深入理解《九章算术》的精

2、髓。刘徽的《九章算术注》对于阐发《九章算术》的思想方法，发展《九章算术》的理论，完善《九章算术》的体系，作出了杰出的贡献。刘徽，魏晋时期人，祖籍淄乡（今山东临淄或淄川一带），生卒年月不详。经过多年的刻苦钻研，刘徽不仅逐步领会了《九章算术》的精神实质，而且对其中的深奥玄妙之处有了较透彻的理解，于是他决心把自己的研究所得以对《九章算术》作注的形式一一记载下来。关于刘徽的生平，我们几乎什么都不了解。《隋书》“律历志”中提到“魏陈留王景元四年刘徽注九章”，由此知道刘徽是公元3世纪魏晋时人，并于公元263年撰《九章算术注》。《九章算术注》包含了刘徽本人的

3、许多创造，完全可以看成是独立的著作，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位。“析理以辞，解体用图。”为了使自己的叙述通俗化，他为自己规定的目标是用言辞来分析与表达道理，用图形来建立几何直观帮助解决问题。具体来说，就是要对《九章算术》中未加论证的公式（方法）和原理从理论上加以证明和阐释，特别是对其中的经验公式或错误公式分别从理论上指出它的近似程度或错误原因，并提出一些理论推断。对于几何概念和命题，则借助于图形和应用代数与几何相结合的方法，进行一般论证或演绎推理。在算术方面，刘徽阐发了《九章算术》中的分数理论。他的分数的意义、表示方法、运算法则等

4、代表了当时世界上的最高水平，并已接近于近代的成熟程度。他把分数看作比，由此发展出“率”的概念，又在“率”的基础上提出了算术中的比例理论、“盈不足”方法等，成为中国传统算法理论发展的重要基础，并传入印度、阿拉伯和欧洲，对这些地区数学的发展产生了较大的影响。在代数方面，《九章算术》中的线性方程组解法以及正负数加减运算是当时世界上无与伦比的两项重大成就。前者比欧洲早1500年，后者也早了1200多年，而给这两项算法以完整理论说明的正是刘徽，他第一个给出了方程的定义并揭示了方程组的同解原理。刘徽把正与负看成是相对存在的数的两种情况，从这一认识出发，刘徽

5、在世界数学史上第一个采取了把数的正负与加减运算关系统一起来的做法。他还运用平面与立体图形对中国古代的开平方与开立方法做出了直观解释，这种方法对于帮助读者正确理解与掌握开方程序是非常有益的。此外，他由取平方根的近似值而提出的小数概念和表示方法，不仅明显具有近代特征，而且比欧洲最早的小数——斯蒂文的小数记法要早出1300多年。在几何方面，刘徽的贡献尤为突出，他是具有中国特色的传统几何理论的奠基者。他以别具一格的证明方法对中国古代提出的几何命题予以科学的证明，这些方法包括“图形割补法”、“代数法”、“极限法”以及“无穷小分割法”等等，其中最常用的是图

6、形割补法，这与他提出的“解体以图”的目标是一致的。特别是他为证明立体的体积公式所采用的立体图形割补法尤为出色。⑴割圆术刘徽“割圆术”的基本思想是“化圆为方”，并借助于极限的方法。“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”。刘徽从圆的内接正六边形出发，并取半径为1尺，一直推算到圆的内接正192边形。得到圆周率的近似值为π≈3.14，化为分数就是157/50，这就是著名的“徽率”。刘徽是中算史上第一个建立可靠的理论来推算圆周率的数学家！像阿基米德一样，刘徽倾力于面积和体积公式的推证，并取得了超越时代的漂亮结果。刘徽的面积、体

7、积理论建立在一条简单而又基本的原理之上，这就是他所谓的“出入相补”原理：一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和不变。在平面的情形，刘徽利用这条原理成功地证明了《九章算术》中许多面积公式。⑵体积理论但当他转向立体情形时，却发现“出入相补”的运用即使对于像“阳马”(底面为长方形、且有一棱垂直于底的四棱锥)这样看似简单的立体也遇到了很大的困难。这里实质性的障碍在于：与平面情形不同，并不是任意两个体积相等的立体图形都可以剖分或拼补（也就是中国古代数学家所说的“出入相补”）相等。但这是到20世纪才弄清楚的（见希尔伯特问题）。古

8、代数学家并未明确认识到这一点，不过为了在体积问题上有所作为，一些一流的数学家都不约而同地借助于无限小方法来绕越上述的障碍，我们已经看到了古希腊阿基米德