第1讲引言与1,2节

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1、近世代数(AbstractAlgebra)主讲教师：蔡炳苓（河北师范大学数学与信息科学学院)20120907初等代数、线性代数、高等代数都称为经典代数近世代数（modernalgebra）也称为（classicalalgebra）研究的对象是代数方程和线性方程组。抽象代数（abstractalgebra）带有封闭运算的集合。研究的对象是代数系统，即教材分析古典代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某一方程〔组〕是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性质等问题。近世代数(抽象代数)产生于十九世纪,它是研究各种抽

2、象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集分别依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。被誉为天才数学家的伽罗瓦（法国，1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出

3、的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于

4、物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。1874年，挪威数学家索甫斯·李（SophusLie,1842~1899）在研究微分方程时，发现某些微分方程解对一些连续变换群是不变的，一下子接触到连续群。1882年，英国的冯·戴克（vonDyck,1856~1934）把群论的三个主要来源—方程式论，数论和无限变换群—纳入统一的概念之中，并提出“生成元”概念。20世纪初给出了群的抽象公里系统。群论的研究在20世纪后沿着各个不同方向展开。例如，找出给定阶的有限群的全体。群分解为单群、可解群等问题一直被研究着。有限单

5、群的分类问题在20世纪七、八十年代才获得可能是最终的解决。伯恩赛德（Burnside，1852~1927年）曾提出过许多问题和猜想。如1902年问道一个群G是有限生成且每个元素都是有限阶，G是不是有限群？并猜想每一个非交换的单群是偶数阶的。前者至今尚未解决，后者于1963年解决。舒尔（Schur，1875~1941）于1901年提出有限群表示的问题。群特征标的研究由弗罗贝尼乌斯首先提出。庞加莱对群论抱有特殊的热情，他说：“群论就是那摒弃其内容而化为纯粹形式的整个数学。”这当然是过分夸大了。环和理想的构造在19世纪就可以找到，但抽象理论却完全是20

6、世纪的产物。1843年，哈密顿发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。1857年，凯莱设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定(与其余假定是兼容的)，就能研究出许多种代数体系。1870年，克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义；狄德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；狄德金和克隆尼克创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系

7、的研究，开创了抽象代数学。德国数学家诺特被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为代数女皇，1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何发展中有重要影响。1920~1927年间她主要研究交换代数与「交换算术」。1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，引入「左模」、「右模」的概念。1921年写出的<<整环的理想理论>>是交换代数发展的里程碑，建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理。1926年发表<<代数数域及代数函数域的理想理论的抽

8、象构造>>，给戴德金环一个公理刻画。诺特的理论就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之