第7章 在jsp中使用数据库

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1、第六章数值积分与数值微分计算方法11牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式2复合求积法3龙贝格Romberg算法4*Gauss求积法5数值微分第六章数值积分与数值微分2本章要点(1)等距节点下的:Newton-Cotes公式和Romberg公式(2)数值微分公式3对于积分但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:§1牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式4以上这些现象,Newton-Leibniz很难发挥作用只能建立积分的近似计算方法这类方法很多,但为方便起见,最常用的一种方法是利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:不同的插值方法

2、有不同的基函数5这就是数值求积公式为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立6因此定义代数精度的概念:定义1.若求积公式则称该求积公式具有m次的代数精度代数精度也称代数精确度7例1.试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.解:8因此所以该积分公式具有3次代数精确度9Newton-Cotes公式是指等距节点下使用拉格朗日(Lagrange)插值多项式建立的数值求积公式各节点为一、牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)数值求积公式10其中而因此对于定积分有11令即有n阶Newton-Cotes求积

3、公式Newton-Cotes公式的余项(误差)12注意是等距节点13所以Newton-Cotes公式化为思考使用n次Lagrange插值多项式的Newton-Cotes公式至少具有n次代数精度,并且n为偶数时至少具有n+1次代数精度,试以n=1,2,4为例说明该结果14柯特斯系数的性质(2)系数有对称性。(3)当n≥8时开始出现负值的柯特斯系数。(1)取f(x)≡1，则f(n+1)(x)≡0,Rn(f)≡0，于是15在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也最重要三个公式,称为低阶公式1.梯形(trapezia)公式及其余项Cote

4、s系数为求积公式为二、低阶Newton-Cotes公式及其余项16上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为17直接推导梯形公式取x0=a，x1=b，过数据点(a，f(a))，(b，f(b))作一次插值多项式用p1(x)≈f(x)，则------(1)(1)式为梯形公式。梯形公式的余项为18梯形(trapezia)公式具有1次代数精度故------(2)19Cotes系数为求积公式为2.辛甫生(Simpson)公式及其余项20上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式记为Simpson公式的余项为Simpson公式具有3次代数精度-------

5、(5)21*直接推导辛甫生公式为了便于计算右端的积分，作变量代换于是22从而有-------(6)公式(6)称为辛甫生(Simpson)公式。23Cotes系数为3.柯特斯(Cotes)公式及其余项24求积公式为上式称为Cotes求积公式，也称五点公式记为Cotes公式的余项为Cotes公式具有5次代数精度---(9)25考察Cotes系数因此用Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由其值可以精确给定三、Newton-Cotes公式的稳定性(舍入误差)26记而理论值为2728即Newton-Cotes公式的舍入误差只是函数值误差的此时,公式的稳

6、定性将无法保证因此,在实际应用中一般不使用高阶Newton-Cotes公式而是采用低阶复合求积法(下节)29思考1.n=0时的Newton-Cotes公式称为矩形公式，试求出该公式2.试编写trapezia公式、Simpson公式、Cotes公式的模块程序30