第二章 自动控制系统的数学模型

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1、教学目的：了解建立自动控制系统的数学模型意义、掌握建立数学模型的方法教学重点：动态结构框图、传递函数、信号流图教学难点：动态微分方程的建立本章授课学时：8第二章自动控制系统的数学模型第一节动态微分方程式的编写第二节传递函数第三节系统动态结构图第四节系统传递函数和结构图的等效变换第二章自动控制系统的数学模型本章研究内容第五节系统信号流图☛☛☛☛☛返回第一节动态微分方程的编写理论推导：根据各环节所遵循的物理或化学规律编写。（如力学、运动学、电磁学、热学等）。实验求取：根据实验数据进行整理编写。(系统辨识)动态微分方程的编写是确定给定量xr(t)输出xc(t

2、)扰动量n(t)输出xc(t)之间的函数关系。或系统动态微分方程编写的方法理论推导——分析法实验求取——实验法本章返回动态微分方程编写的步骤：⑴确定系统输入、输出量。⑵从输入端开始，按信号传递方向，根据物理或化学规律，分别编写每个元件的微分方程。⑶联立求解，消去中间变量，经整理就可得到只含有输入、输出的系统微分方程。第一节动态微分方程的编写本章返回例1：编写如图RC电路动态微分方程解：⑴确定输入、输出量输入：xr(t)=u1输出：xc(t)=u2⑵列写原始微分方程u1=iR+u2①i=cdu2/dt②⑶消去中间变量i得：RCdu2/dt+u2=u1Ri

3、u1〜cu2RC电路微分方程第一节动态微分方程的编写本章返回Rxc=iLxr=u结论：不同系统，可以有相似的数学模型同理RL电路微分方程为：Ldi/dt+iR=u第一节动态微分方程的编写本章返回例2：如图所示为RLC网络，u为输入变量，uc为输出变量。试求其数学描述。RLC消去中间变量，得例3：编写电枢控制的他励直流电动机的微分方程解：⑴确定输入、输出量输入量：xr=ud电枢电压输出量：xc=n电机转速第一节动态微分方程的编写udMidn⑵列写原始微分方程电枢回路的微分方程式转动部分的机械运动微分方程式第一节动态微分方程的编写本章返回电枢回路微分方程机

4、械运动微分方程(忽略负载力矩和黏性摩擦力矩)令电磁时间常数机电时间常数第一节动态微分方程的编写本章返回⑶消去中间变量id、ed、M，整理得：ed----电动机电枢反电势n-------电动机转速Rd----电动机电枢回路电阻M-------电动机的电磁转矩Ld----电动机电枢回路电感GD2----电动机的飞轮惯量id-----电动机电枢回路电流Cm----电动机的转矩常数Ce-----电动机电势常数⑷当输入量xr=ud，输出量xc=θ时，其微分方程为：或结论：同一系统当研究的问题不同时，其数学模型也不同得：第一节动态微分方程的编写本章返回例4：如图为

5、直流电动机转速闭环自动控制系统，试写出其微分方程式。-nud电抗器+-ufR01R02R12K1_+比较放大K1功率放大KS解：⑴确定输入、输出量输入量：xr=Ug给定电压输出量：xc=n电机转速Uguk本章返回⑵列写各环节微分方程比较放大环节：(当R01=R02时)uk=K1(Ug-uf)其中：K1=(-)R12/R01功率放大环节：(忽略时滞环节和非线性因素）ud=Ksuk直流电动机：反馈环节：uf=Ksfn四个方程，五个变量第一节动态微分方程的编写本章返回⑶联立方程，消去中间变量：uk,ud,uf得：整理后得：令K1Ks=Ky——正向通道电压放大

6、倍数K1KsKsf/Ce=Kk——系统开环放大倍数第一节动态微分方程的编写本章返回⑷系统稳态时的转速当系统处于稳态时，转速的各阶导数均为零。即：,闭环系统的微分方程式为：稳态时的转速为：第一节动态微分方程的编写本章返回线性定常系统微分方程式的一般表达式为：第一节动态微分方程的编写本章返回典型环节的传递函数及暂态特性传递函数的意义第二节传递函数本章返回建立系统微分方程分析系统的性能解微分方程，求xc(t)根据xc(t)曲线第二节传递函数一、传递函数的意义1、传递函数的概念传递函数——数学模型借助传递函数的零点和极点在复平面的分布、频率特性等间接方法分析和

7、设计系统本节返回本章返回设系统的初始条件为零（即输出及其各阶导数均为零）对微分方程两边取拉氏变换（由拉氏变换定理）得：(a0sn+a1sn-1+------+an-1s+an)Xc(s)=(b0sm+b1sm-1+------+bm-1s+bm)Xr(s)式中：Xc(s)------输出拉氏变换Xc(s)=L[xc(t)]Xr(s)------输入拉氏变换Xr(s)=L[xr(t)]s------拉氏变换算子则：W(s)第三节传递函数本节返回本章返回W(s)——传递函数W(s)Xr(s)Xc(s)则：Xc(s)=W(s)Xr(s)——输出Xc(s)是X

8、r(s)经W(s)传递所得。※传递函数：在线性系统中，当初始条件为零时，系统输出的拉氏变换与输