实验4最小光照点的确定

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1、实验4最小光照点的确定内容提要本实验将数学软件计算有关函数最小值的应用问题,以此说明函数极值、最大（小）值的确定方法，有关函数的极值、最大（小）值的理论知识请参见第二章第九节。问题的提出现有两个等强度的光源A、B相距10m（图18）。已知单光源对某点的光照强度与光源的强度成正比，与光源到该点的距离的平方成反比。设线段CD与AB平行并相距dｍ，其中ＡＣ和ＢＤ均与ＡＢ垂直。现要在线段ＣＤ上求光照强度最小的一点P。最小光照点的确定实验的步骤首先设Ｐ点与Ｃ点相距为ｘ　ｍ，再不妨设两个光源强度为一个单位。比例系数为１，从而建立Ｐ点光照强度为函数ｆ（ｘ）再mathematica

2、环境下，键入:最小光照点的确定并运行，现在的问题即为求f(x)的最小值由最小值的计算方法可知先要求出所有的极值点。由于f(x)可导，故极值点必为驻点，因此，只需要求出f(x)的零点，为此键入:并运行，即得得零点为:最小光照点的确定从（４）式易知ｘ4，ｘ5为复数，再从（３）可知当－25－ｄ＋1０≥０即ｄ≤为实数，当－25－ｄ＋１０＜０即ｄ＞为复数。为了利用极值得第二充分条件，我们判断f＂（x）在这些驻点的符号，将ｘ1，ｘ2，ｘ3的表达式（2）和（3）代入后，得到以３个以d作为自变量的函数，我们把这３个函数记为g1(d),g(2d),g3(d)，易知它们的定义域分别为［

3、０，＋∞］，（０，５］，（０，５］，最小光照点的确定由此键入:运行后我们再分别在［０，１０］及［０，５］内作出ｇ1（ｄ）及ｇ2（ｄ）、ｇ3（ｄ）的图形（如图１９）,键入:最小光照点的确定运行后出现红色的警告信息，这些信息表示ｇ２（ｄ）和ｇ３（ｄ）在ｄ＝０处无意义。事实上易知当ｄ＝０时，ｘ２＝０，ｘ３＝１０，而从ｆ（ｘ）的表达式（１）可知，ｆ（ｘ）此时无意义，从而二阶导数ｇ１（ｄ）、ｇ２（ｄ）和ｇ３（ｄ）在ｄ＝０处也无意义最小光照点的确定为确定g1（d），g2（d）和g3（d）的符号，我们求出它的零点，即键入：运行后知三个函数均有相同的唯一零点５，再借助它们的图形可知

4、，只有ｇ１（ｄ），即ｆ“（ｘ１），当ｄ＜５时大于零，从而可知ｘ１＝５为唯一的极值点，故最小值为ｍｉｎ｛ｆ（５），ｆ（０），ｆ（１０）｝，而ｆ（５）＝。通过计算可得：最小光照点的确定由此推得，当０≤ｄ＜５时ｆ（５）＜ｆ（０）＝ｆ（１０）；当ｄ＝５时ｆ（５）＝ｆ（０）＝ｆ（１０）；当ｄ＞５时ｆ（５）＞ｆ（０）＝（１０）。因此得到结论：当０≤ｄ≤５时，得ｆ（ｘ）最小值点为ｘ＝５；当ｄ＝５时，得ｆ（ｘ）最小值点为ｘ＝０、ｘ＝５及ｘ＝１０；当ｄ＞５时；得最小值为ｘ＝０和ｘ＝１０。，最小光照点的确定为了清楚得观察函数图形得变化情况，我们用命令作出时函数得图形立即键入：从图形上可

5、进一步清楚地看到其极值点的变化情况（如图２０）。本题如果不使用计算机帮助计算和显示图形，解题过程将非常复杂，而且也难以对付函数的变化情况有如此清晰的了解；但是反过来，如果仅利用计算机而忽视理论的推导，我们也无法得到满意的结果。只有两者的结合才能达到有效、便捷的效果。