多自由度系统振动之三频率方程的零根和重根情形之四受迫振动之五有阻尼

《多自由度系统振动之三频率方程的零根和重根情形之四受迫振动之五有阻尼》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、教学内容多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动频率方程的零根和重根情形多自由度系统的受迫振动有阻尼的多自由度系统多自由度系统振动频率方程的零根和重根情形回顾：（1）两个例子系统存在刚体运动，此时柔度矩阵F不存在，刚度矩阵奇异。（2）多自由度系统的自由振动刚度矩阵半正定，，系统为半正定系统，此时存在f(t)=at+b的刚体模态。即本节将讨论的零固有频率的情形m1m2k1k2m3多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形对于n自由度系统：广义特征值问题：有非零解的充要条件：若必有：K为奇异矩阵是零固有频率存在的充要

2、条件，满足此条件时系统的刚度矩阵K是半正定的。结论：说明当半正定系统按刚体振型运动时，不发生弹性变形，因此不产生弹性恢复力。多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形假定系统中相应的主坐标方程：积分，得：a、b由初始条件决定表明此主振动为随时间匀速增大的刚体位移系统的刚体自由度可以利用模态的正交性条件消除多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形设为零固有频率对应的刚体位移模态正交性条件要求：其中，为系统的除刚体位移之外的其它模态设为与所对应的主坐标令：系统消除刚体位移后的自由振动可得约束条件：利用此约束条件可消去系统

3、的一个自由度，得到不含刚体位移的缩减系统，缩减系统的刚度矩阵是非奇异的。右乘：多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形例：教材P100习题4.14（不考虑阶梯力的作用）初始条件：求系统响应mmkkmkm多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形解：方法一动力方程:固有频率:奇异矩阵模态矩阵：正则模态：令：得：初始条件：多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形展开，得：在正则坐标中分两种情况求解（1）时运动方程：解：初始条件：得：所以：（2）时代入初始条件，可求得：多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形在正则模态

4、中的响应：写成矩阵：原物理空间的自由振动响应：多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形解：方法二：利用约束条件代入约束条件：代入方程，并整理：mmkkmkm多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形非奇异矩阵奇异矩阵求得固有频率：方法一：方法一：正则模态：多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形模态空间响应：初始条件：物理空间响应：第一个质量块的响应：多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形写成矩阵形式：方法一结果：消除了刚体位移多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的重根情形在前面引入振型矩阵（或模

5、态矩阵）的概念时，曾假设所有的特征值都是特征方程的单根。复杂的系统中会出现某些特征根彼此很接近甚至相等的情况例如，柔性航天结构下面讨论如何求出系统固有频率出现重根时的相互正交的主振型问题多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形假使是r重根即有：其余的都是单根将代入特征值问题表达式：特征矩阵的秩：即：n个方程中只有n-r个是独立的例如当是单根时，r=1n个方程中只有n–1个是独立的多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形即r=2为简单计，令：则计算对应的模态时，中有2个是不独立的方程将的最后两个元素的有关项移至等号右

6、端：任意给定两组线性独立的值和例如：可解出其余n–2个（i=1~n-2，j=1,2）的两组解多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形第1、第2阶模态：（不是唯一的）为保证它们之间满足正交性条件（不正交）令：也是如下方程的解：多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形要正交，需满足：即：解得待定系数c为：c得到后，即可得到相互正交的多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形第1、第2阶模态：（不是唯一的）为保证它们之间满足正交性条件（不正交）令：相互正交又分别与相互正交？模态矩阵：可使质量矩阵及刚度矩阵同时对角化即：多

7、自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形例：四自由度系统求：系统模态矩阵x1mmmmkkkkkkkkkx2x3x4多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形解：系统运动微分方程：对应于的主振型：由由x1mmmmkkkkkkkkkx2x3x4多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形对于得到：代入第3个方程显然不独立，第四个方程可由第一个方程乘以2再减去第二个方程得到，故也不独立划去后两个方程，将前两个方程写为：解得：则有：多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形对应的主振型不难验证都关于M和K相互正交但、之间不正交为

8、从得到相互正交的选取并令左乘解得：于是，有：（注：）多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形模态矩阵：可以验证，有：多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形教学内容多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动频率方程的零根和重根情形多自由度系统的受迫振动有阻尼的多自由度系统多自由度系统振动多自由度系统的受迫振动系统对简谐力激