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《第三章第九讲：燕尾定理.题库教师版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、燕尾定理燕尾定理：在三角形中，，，相交于同一点，那么．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，是上任意一点，请你说明：【解析】三角形与三角形同高，分别以、为底，所以有；三角形与三角形同高，；三角形与三角形同高，，所以；综上可得.【例1】（2009年第七届希望杯五年
2、级一试试题）如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于．【解析】方法一：连接，根据燕尾定理，，,设份，则份，份，份，如图所标所以方法二：连接，由题目条件可得到，，所以，，4-2-4燕尾定理题库page17of17燕尾定理而．所以则四边形的面积等于．【巩固】如图，已知，，三角形的面积是，求阴影部分面积.【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要
3、对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接，因为，，三角形的面积是30，所以，．根据燕尾定理，，,所以，，所以阴影部分面积是．(法二)连接，由题目条件可得到，，所以，，而．所以阴影部分的面积为．【巩固】如图，三角形的面积是，在上，点在上，且,，与交于点．则四边形的面积等于．【解析】连接，根据燕尾定理，，,设份，则份,份，份，份，所以【巩固】如图，已知，，与相交于点,则被分成的部分面积各占面积的几分之几？4-2-4燕尾定理题库page17of17燕尾定理【解析】连接,设份，则其他部分的面积如图所
4、示，所以份，所以四部分按从小到大各占面积的【巩固】(年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在中，，，与相交于点，若的面积为，则的面积等于．【解析】方法一：连接．由于，，所以，．由蝴蝶定理知，，所以．方法二：连接设份，根据燕尾定理标出其他部分面积，所以【巩固】如图，三角形的面积是，，，与相交于点，请写出这部分的面积各是多少?【解析】连接，设份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以,,,【巩固】如图，在上，在上，且,，与交于点．四边形的面积等于，则三角形的面积．4-2-4燕尾定理题库page17of1
5、7燕尾定理【解析】连接,根据燕尾定理，，,设份，则份，份，份，份,份,如图所标,所以份,份所以【巩固】三角形中，是直角，已知，，，，那么三角形(阴影部分)的面积为多少？【解析】连接．的面积为根据燕尾定理，；同理设面积为1份，则的面积也是1份，所以的面积是份，而的面积就是份，也是4份，这样的面积为份，所以的面积为．【巩固】如图，长方形的面积是平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?【解析】设份，则根据燕尾定理其他面积如图所示平方厘米.【例1】如图所示，在四边形中，，，四边形的面积是，那么平行四
6、边形的面积为________．4-2-4燕尾定理题库page17of17燕尾定理 【解析】连接,根据燕尾定理,,设,则其他图形面积，如图所标，所以.【例1】是边长为厘米的正方形，、分别是、边的中点，与交于，则四边形的面积是_________平方厘米．【解析】连接、，设份，根据燕尾定理得份，份，则份，份，所以【例2】如图，正方形的面积是平方厘米，是的中点，是的中点，四边形的面积是_____平方厘米．【解析】连接,根据沙漏模型得,设份，根据燕尾定理份，份，因此份，，所以(平方厘米).【例3】如图所
7、示，在中，，是的中点，那么．【解析】连接．由于，，所以，4-2-4燕尾定理题库page17of17燕尾定理根据燕尾定理，．【巩固】在中，，，求？【解析】连接．因为，根据燕尾定理，，即；又，所以．则，所以．【巩固】在中，，，求？【解析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接．连接．因为，根据燕尾定理，，
8、即；又，所以．则，所以．【例1】（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形是矩形，、分别是、上的点，且，，与相交于，若矩形的面积为，则与的面积之和为．4-2-4燕尾定理题库page17of17燕尾定理【解析】(法1)如图，过做的平行线交于，则，所以，，即，所以．且，故，则．所以两三角形面积之和为．(法2)如上右图，连接、．根据燕尾定理，，，而，所以，，，，则，，所以两个三角形的面积之和为15．【例1】如右图，三角形中，，，求．【解析】根据
