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1、◆函数的连续性(continuity)气温的变化，河水的流动，植物的生长等都是连续地变化着，反映在函数关系上是函数的连续性。当时间变化很微小时，气温的变化也很微小，一般的，当自变量改变很微小时，因变量也很微小，这个特性称为连续性。连续函数在图像上是一条连续无间断点的曲线。自变量的增量函数的增量◆增量的概念定义1设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，在区间(a,b)上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续,若在该区间左右端点处连续,称函数是闭区间上的连续函数。xyo如果函数y=f(x)在x0点连续,则必须同时满足下列三个条件：(1)f(x)在x0的
2、某个邻域内有定义极限值存在极限值与函数值相等定义2设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量Δx=x-x0趋于零时，对应的函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)也趋于零，即那末就称函数y=f(x)在点x0连续.◆连续函数在几何图象上是一条连续不断的曲线.函数在一点处连续的本质特征：当自变量改变很微小时，函数值变化也很微小◆连续性举例1.讨论绝对值函数在x=0处的连续性.解因为所以所以绝对值函数在x=0处连续2.作为例子我们来证明函数y=sinx在区间内是连续的由三角公式有一般地,证明一个函数在某个区间内连续时,宜使用等价定义式;若要证明函数在某点处连续,则宜
3、使用原定义式.3.设有函数,问为何值时,函数在点连续?解因为要使函数在点连续,则应有所以◆函数的间断点discontinuityxyo123412Discontinuityatx=1andx=2若函数有下列三种情形之一：则称函数在点处不连续，点称为函数的间断点。不连续点即为间断点可去间断点(1)——第一类点x=1是函数f(x)的可去间断点xyo11/21◆函数的间断点的类型可去间断点(2)——第一类◆函数的间断点的类型例如但不存在点称为函数的可去间断点。1跳跃间断点——第一类yxo点x=0是函数f(x)的跳跃间断点。◆函数的间断点的类型◆函数的间断点的类型无穷间断点——第二类振荡间断点
4、——第二类点x=0是函数f(x)的振荡间断点。◆函数的间断点的类型1-1解这是一个初等函数，其定义域为找出函数的间断点，并判别其类型。而所以，x=1是函数的第一类的可去间断点；x=2是函数的第二类的无穷间断点。不存在而例题设求函数的间断点，并判别其类型。解由的定义可知，函数在内连续而所以，x=1是函数的第二类间断点(无穷间断点)，x=0是函数的第一类间断点(跳跃间断点)。求的值，使函数在点处连续。例题解由连续性的定义可知，要使函数在x=0点连续，则应有而连续函数在连续点处的极限值等于函数在该点处的函数值，即极限号lim与函数号f可以交换次序。连续函数求极限法则例如,一、连续函数的和、差
5、、积、商的连续性二、反函数与复合函数的连续性例反三角函数在其定义域内皆连续.定理1单调连续函数的反函数仍是单调连续函数。即例定理2连续函数的复合函数仍是连续函数。即三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★(均在其定义域内连续)★基本初等函数在定义域内是连续的.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.初等函数求极限的方法代入法.例1解例2解例3解例4求解如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,在右端点b左连续,在左端点a右连续,那么函数f(x)就是在闭区间[a,b]上连续的定义◆闭区间连续函数的性质最值定理（Themax-mintheorem）abxyo在
6、区间内部取得最大值和最小值yabxo在区间端点取得最大值在闭区间[a,b]上连续的函数,一定能取得它的最大值和最小值。说明：可在区间内部取得最值，也可在区间端点取得最值。注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.介值定理Theintermediatevaluetheorem设函数在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的,为介于与之间的任意,则在开区间(a,b)，函数值一个数，即内至少有一点，使得根的存在定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号,那末，在开区间（a,b）内至少存在一点ξ，使得o几何解释:例题证由零
7、点定理,由零点定理可知，原方程在[-1，5]内必有根。解又练习
