数值分析[胡良剑]PDF课件

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1、数值分析上课每周三8:15-9:45二教125双周三10:05-11:35图文3号机房请按机号入座！考试成绩笔试70%，上机考试20%，平时10%胡良剑Ljhu@dhu.edu.cn信息理学楼54367792090-543数值分析数值分析是数学与计算机技术结合的一门学科，研究利用计算机解决数学问题的理论和方法，是计算数学的一个重要分支。-----zh.wikipedia.org现代复杂工程技术问题的解决步骤工程问题数学模型设计算法问题解答结果分析上机计算第一章数值分析的基本概念§1.1数值算法的研究对象§1.2误差分析的概念§1.3

2、数值算法设计的一些要点例1.1(易计算问题)(1)求解线性方程组AX=B,其中A为3阶可逆方阵，X=(x,x,x)T;123(2)求代数方程3x2+8x−3=0在[0,1]上的根x*；(3)已知y=P(x)为[x,x]上的直线，满足P(x)=y,0100P(x)=y,x∈(x,x),求P(x)；112012b1(4)计算定积分I=∫dx(1

3、A

4、,DD为由B置换D的第j列所得。j(2)根据求根公式得x

5、*=1/3;yy−10y+−()xx(3)P(x)=020;2xx−10b(4)根据积分公式得到I=ln;a(5)根据线性常微分方程求解公式得xy(x)=−x−1+e例1.2(难计算问题)(1)求解线性方程组AX=B,其中A为30阶可逆方阵，X=(x,x,…,x)T;1230(2)求超越方程xex=1在[0,1]上的根x*；(3)已知y=f(x)为[x,x]上的函数，满足f(x)=y,0100f(x)=y,x∈(x,x),求f(x)；112012b1(4)计算定积分I=∫adx(1

6、y'=+y(0)=0解：例1.2同例1.1“差不多”？(1)计算量非常大；(2)无法求得x*的解析形式，只能求近似值；yy−10y+−()xx(3)f(x)≈0xx−20试试；210(4)无法找到原函数，考虑近似方法；(5)没有解析解，数值解法求取近似解。利用计算机！但是…….计算机的认识能力是有限的计算机的计算能力也是有限的可行且高效的算法+计算机！！！2数值算法的特点：计算机算法对于给定的问题和设备（计算机），一个算法是用该设备可理解的语言表示的，对解决这个问题的一种方法的精确刻画。计算机算法主要包含数值算法、非数值算法和软

7、计算方法三类。三类计算机算法数值算法主要指与连续数学模型有关的算法，如数值线性代数、方程求解、数值逼近、数值微积分、微分方程数值解和最优化计算方法等；(本课程内容)非数值算法主要指与离散数学模型有关的算法，如排序、搜索、分类、图论算法等；软计算方法是近来发展的不确定性算法的总称，包括随机模拟、神经网络计算、模糊逻辑、遗传算法、模拟退火算法和DNA算法等。数值算法的特点有穷性数值性近似性数值计算软件FortranC++Matlab§1.2误差分析的概念1.误差限和有效数字2.截断误差与收敛性3.舍入误差和数值稳定性4.数据误差和病态问

8、题1.误差限和有效数字误差和相对误差(定义1.1)设x*是某量的准确值，x是x*的近似值称δx=x*-x为x的误差或绝对误差。

9、x*-x

10、≤ε,称ε为x的(绝对)误差限或精度，δx=(x*-x)/x*称为x的相对误差r

11、(x*-x)/x*

12、≤ε,称ε为x的相对误差限。rr当ε很小时，ε≈ε/

13、x

14、。rr准确位数和有效数字(定义1.2)设x=±0.aa…a…×10m(m为整数)(1.1)12n其中a~a为0~9中一个数字且a≠0。1n1如果

15、x*-x

16、≤0.5×10−k(1.2)即x的误差不超过10-k位的半个单位则称近似数x准确到第

17、k位小数，并说x有m+k位有效数字。例1.3(误差限和有效数字)圆周率π=3.1415926…。x=3.14;x=3.141;x=3.142;x=3.14141234解(1)π−x=0.15926…×10−2,

18、π−x

19、≤0.5×10−2,11有3位有效数字；(2)π−x=0.5926…×10−3,

20、π−x

21、≤0.5×10−2,有3位22有效数字；(3)π−x=−0.4073…×10−3,

22、π−x

23、≤0.5×10−3,有433位有效数字；(4)π−x=0.1926…×10−3,

24、π−x

25、≤0.5×10−3,有4位41有效数字。有效数

26、字概念的通俗定义设x*是某量的准确值，x是x*的近似值，如果在从第一个非零数字开始的第n位进行四舍五入(即考虑第n+1位是舍还是入？)，x*和x的结果完全一致，则称x有n位有效数字。与定义1.2的区别2.截断误差与收敛性截断误差：一个