Riemann-Lebesgue

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1、Riemann-LebesgueùÜDÿY¹Šœþ‡k:‚àúiƒbí¸Ï“†,ª[Ñ1LBbÊ¥¹dıø*Riemann-f(x)=f(ξ)dξ2L−LLebesgueùÜ}–,¥Ê¡H}&2rÆ7∞1Lnπ”½b5iH7(}D…óÉí3æ¨+Lf(ξ)cosL(x−ξ)dξ(1.3)−Ln=1ìó¶(methodofstationaryphase)BbÛÊ>Eí½æu:¦xì7IDÿY¹ÔuYoung’s¿5–1L→∞†(1.3)}AÑBóá?çÍRiemann-LebesgueùÜ5–Ä@çÑ7

2、„}íæÊ4,Bbílcqf∈uFourierb5Y¹4½æDFourier1(LR)¹}t,²ÆuzÿuƒFourier

3、‚∞à}׉b¶jÏfûj˙,

4、(Ûbû˝

5、f(ξ)

6、dξ<∞(1.4)−∞íL½æ(inverseproblem),Ĥªcw½1Lb4Bbø#_òh<2í„p,7(Ĥ(1.3)AÑ(¤v2L−Lf(ξ)dξ→}semi-classicalí–1,

7、(†ùªÿY0)¹DYoung’s¿Ê¡H}&«wuÝ(∞1f(x)=lim4R}j˙2”½bí–1L→∞Ln=1Lnπ1

8、.Riemann-LebesgueùÜ·f(ξ)cos(x−ξ)dξ(1.5)−LL}Riemann-LebesgueùÜJ.*UÛÊ_"Riemann¸íj¶I˚u“bç2í˹”—FourierbOGÿnππ.øwŸá<2#ìøƒbf∈C[−π,π]λn=∆λ=λn+1−λn=LLø5[ÑFourierbL∞I(λ,L)=f(ξ)cosλ(x−ξ)dξ(1.6)a0nπnπf(x)∼+(ancosx+bnsinx)−L2LLn=1(1.1)Ĥ(1.5)ªZŸÑ1Lnπan=L−Lf(ξ)cosLξdξ

9、1∞1Lnπ(1.2)f(x)=limI(λn,L)∆λ(1.7)bn=L−Lf(ξ)sinLξdξL→∞πn=11718bçfÈ21»1‚¬86-3~¥£uRiemann¸5$I∆λ→0ÿuƒbf5Fourier‰²Ä¤Fourier(L→∞)†}t5…”ÿuø/L‰²—Fourier1∞L‰²7¥£ujR}j˙,Ôu(4f(x)=limI(λ,L)dλL→∞π04[bR}j˙

10、½bí5x1∞L=limdλf(ξ)cosλ(x−ξ)dξ,Þ¥

11、Û6-é

12、5}1∞∞=dλf(ξ)cosλ(x−ξ)dξ(1.8)π0−∞bcosnxf(x)dx,¥_ÿu

13、±íFourier}ty‚à¸asinnxÏ“ø(1.8)ZŸÑbiλxf(x)edxa.b∈R1∞∞af(x)=dλf(ξ)cosλ(x−ξ)dξĤÃ7í„p5‡âln6¥é}íπ0−∞1∞4”,¥ÿuRiemenn-LebesgueùÜ:=[a(λ)cosλx+b(λ)sinλx]dλπ0Riemann-LebesgueùÜ:(1.9)I:(ä–È)w21Jf∈L([0,2π])†

14、∞2πa(λ)=−∞f(ξ)cosλξdξ1(1.10)limf(x)cosnxdxb(λ)=∞f(ξ)sinλξdξn→±∞2π0−∞12π=limf(x)sinnxdx=0¥£uFourierìý(£ý)‰²wõÿun→±∞2π0Fourierb5R2çÍBbª‚àEulerC[ѵb5$tøs6¯9Êø–limfˆ(n)n→±∞1∞∞12πf(x)=dλf(ξ)cosλ(x−ξ)dξ=limf(x)e−inxdx=0(1.13)π0−∞n→±∞2π01∞∞=dλf(ξ)eiλ(x−ξ)dξ

15、1(II:(Ìä–È)Jf∈LR)†2π0−∞1∞∞fˆ(λ)+dλf(ξ)e−iλ(x−ξ)dξlim2π0−∞λ→±∞∞1∞∞iλ(x−ξ)1−iλx=dλf(ξ)edξ=limf(x)edx=0(1.14)2π−∞−∞λ→±∞2π−∞∞=fˆ(λ)eiλxdλ(1.11)â}5©/4Bbyª!6−∞1f∈L(R)⇒fˆ∈C0(R)(1.15)w21∞C0(R):[ýF©/ƒbÅ—Ê̤õÑ0fˆ(λ)=f(ξ)e−iλξdξ(1.12)2π−∞5Õ¯Riemann-LebesgueùÜDÿY¹19

16、ÉkRiemann-LebesgueùÜ

17、o5-j¥s¶Mø£øŠóJ¾,Ĥ2πuâRiemannk1876-„p,7øOí80cosxdx=0°Üúƒbcosnxø£$¹f∈L1†uâLebesguek1903-øŠÉuÛÊ)òø<,˛¤óJ¾,]2πF#íÉk¥ìÜí„prÖ/,OBb0co

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