浅析常微分方程的常数变易法

《浅析常微分方程的常数变易法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、研究与开发浅析常微分方程的常数变易法高菲菲（内蒙古财经大学统计与数学学院，呼和浩特010051）摘要：常数变易法是解决一阶非齐次线性微分方程通解的有效方法，但是多数教材只讲解了使用方法，而没有给出此法的由来。讨论常数变易法的由来，并对其进行推广，从而加深对常数变易法的理解和掌握。关键词：常微分方程；常数变易法；通解；特解0引言的多是所谓的常数变易法。在计算机的相关教学和研究中，为了研究某一个2常数变易法问题，经常需要先建立数学模型再加以研究．而建模就[1]常数变易法的具体方法如下：是要确定变量间的

2、函数关系．在很多情况下，必须建立由于一阶齐次线性微分方程（2）是可分离变量方不仅包含这些函数本身，而且还包含着这些函数的导程，通过分离变量得到它的通解是：数或微分的方程或方程组才有可能确定这些函数关-乙P（x）dx系，即微分方程。因此求微分方程的解就显得尤为重y=Ce（3）要。而求解常微分方程的有效方法之一就是常数变易其中C是任意常数。将这个通解中的任意常数C法，可是对这个十分重要的方法，在许多教材中只是一变易为待定函数C（x），使其满足一阶非齐次线性微分笔带过，根本就没有相关的说明或论述，只是强

3、调了如方程（1），从而求出待定函数C（x），因此，令：何套用其结果去计算。这使得学生在学习求解微分方-乙P（x）dxy=C（x）e（4）程时感到十分费劲，特别是方法中把任意常数C变易成待定函数当作一阶线性非齐次微分方程的解，更是代入非齐次方程（1）的左端，得到：特别困惑。因此，本文主要讨论这种方法的由来。-乙P（x）dx-乙P（x）dxy'+P（x）y=C'（x）e-C（x）P（x）e+C（x）P（x）1定义-乙P（x）dx-乙P（x）dxe=C'（x）e=Q（x）形如：即：y'+P（x）y=Q（

4、x）（1）乙P（x）dxC'（x）=Q（x）e的方程称为一阶非齐次线性微分方程，其中P（x）积分后得：和Q（x）为x的已知函数，Q（x）称为非齐次项。若Q（x）乙P（x）dx=0，则（1）变为：C（x）=乙Q（x）edx+Cy'+P（x）y=0（2）其中C是任意常数，再将C（x）代入（4）中，得到非[1]齐次方程（1）的通解为：称为一阶齐次线性微分方程。关于一阶非齐次线性微分方程（1）的解法，一般常微分方程教材中所采用收稿日期：2012-06-12修稿日期：2012-07-12作者简介：高菲菲，女

5、，内蒙古呼和浩特人，讲师，硕士研究生，研究方向为微分方程与系统仿真髽现代计算机2012.07下研究与开发-乙P（x）dx乙P（x）dx即：y=e［乙Q（x）edx+C］（5）C'（x）=3x2单说求解方法，此方法特别简单，也很容易掌握。积分得C（x）=x3+C，于是，所求方程的通解为：但从另一方面看，这个方法相当巧妙，而且没有解释其y=（x3+C）cos2x来源，有的学生会问怎么想到只要把任意常数C变易其中C为任意常数。为待定函数C（x）就可以解决问题，是否为某一题目的4常数变易法应用推广巧合？不

6、把这个疑问解释清楚，必然会使学生产生疑惑。既然常数变易法适用于一阶非齐次线性微分方程，那么就会想到此法是否能用来解决高阶非齐次线3常数变易法名称的由来性微分方程的通解问题[3]？由于涉及面较广，这里只讨在研究非齐次方程（1）的解法时，提出了所谓的论用常数变易法求解二阶常系数线性微分方程。[2]“常数变易法”，是如何提出的呢？对于一阶非齐次线形如：性常微分方程（1）可改写成：y″+py′+qy=f（x）（8）dy=Q（x）dx-P（x）dx的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程，其yy中p和q为常数

7、，f（x）是已知函数。若f（x）=0，则（8）变两端同时积分，可得：为：dyQ（x）乙=lny=乙dx-乙P（x）dx（6）y″+py′+qy=0（9）yy称为二阶常系数齐次线性微分方程[1]。（6）式右端第一个积分中含有未知函数y，也是x方程（9）的通解为：的函数，即这个积分是x的函数，可记为F（x），即：y=C1y1（x）+C2y2（x）（10）lny=F（x）-乙P（x）dx其中C1，C2是任意常数，y1（x）和y2（x）是方程（9）的F（x）-乙P（x）dx两个线性无关的特解。把这个通解中

8、的任意常数C1，C2y=e·e（7）F（x）变易为待定函数C1（x）和C2（x），使其满足方程（8），从令C（x）=e，则（7）式变成：而求出C1（x）和C2（x）。为此，令：-乙P（x）dxy=C（x）ey=C1（x）y1（x）+C2（x）y2（x）（11）由此可得出，将一阶齐次线性微分方程（2）的通解则：（3）中的任意常数C变易为待定函数C（x），即为一阶y′=C1′（x）y1（x）+C1（x）y1′（x）+C2′（x）y2（x）+C2（x）y2′（x）非齐次线性微分方程（1）