algebra-taiwan

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1、大學基礎代數李華介國立台灣師範大學數學系前言在大學數學系的課程中代數學是一門必修的課程,不過一般同學覺得它既抽象又難以理解.本講義希望用能比較簡單的方法介紹大學應該知道的代數理論,讓大家免除對代數的恐懼.在使用本講義之前請注意下列事項：(1)本講義不是甚麼萬靈丹,若平時不努力考前想隨便讀讀此講義就能融會貫通那是“不可能的”.(2)本講義並不是為了提升同學們對代數的興趣而寫,因此內容並不會生動有趣.如果同學對於一些代數的歷史典故有興趣,建議查詢其他的參考書籍.(3)本講義只觸及基礎的代數知識,因此並不適合對代數有興趣而想多了解更進階理論的同學

2、.若要學習更多進階的代數理論,建議查詢其他的參考書籍﹝或將來我寫的進階代數講義﹞.(4)本講義雖然主要以中文撰寫,不過當涉及定義或專有名詞時,為免翻譯的困擾將以英文取代.因此將以中英夾雜較不傳統的方式顯現,若有不便請見諒.vContents前言vPartI.GROUPChapter1.初級Group的性質3x1.1.Group的基本定義3x1.2.由Group的定義所得的性質5x1.3.Subgroup7x1.4.一些特殊的subgroup9x1.5.製造更多的subgroups11Chapter2.中級Group的性質13x2.1.分類1

3、3x2.2.Lagrange’sTheorem14x2.3.元素的order16x2.4.NormalSubgroups和QuotientGroups17x2.5.GroupHomomorphisms20x2.6.三個Isomorphism定理23x2.7.CorrespondenceTheorem27Chapter3.一些常見的Groups31x3.1.CyclicGroups31x3.2.DirectProduct33x3.3.FiniteAbelianGroups38x3.4.TheSymmetricGroup46viiviiiCon

4、tentsChapter4.進階Group的性質67x4.1.GroupAction67x4.2.Cauchy’sTheorem70x4.3.p-Group72x4.4.FirstSylow’sTheorem75x4.5.SecondSylow’sTheorem78x4.6.ThirdSylow’sTheorem80x4.7.Sylow定理的應用83PartII.RINGChapter5.初級Ring的性質89x5.1.Ring的基本定義89x5.2.由Ring的定義所得的性質90x5.3.ZeroDivisor和Unit92x5.4.Su

5、bring94x5.5.一些NoncommutativeRing96Chapter6.中級Ring的性質101x6.1.Ideals和QuotientRings101x6.2.Subring和Ideal的基本性質103x6.3.RingHomomorphism和Correspondence定理106x6.4.三個RingIsomorphism定理109x6.5.在CommutativeRingwith1中特殊的Ideals112Chapter7.一些常見的Rings119x7.1.TheRingofIntegers119x7.2.Ringo

6、fPolynomialsoveraField123x7.3.PolynomialsovertheIntegers130x7.4.QuotientFieldofanIntegralDomain139Chapter8.IntegralDomain上的分解性質143x8.1.Divisor143x8.2.EuclideanDomain147x8.3.PrincipleIdealDomain148x8.4.UniqueFactorizationDomain152ContentsixPartIII.FIELDChapter9.初級Field的性質16

7、5x9.1.Field的基本性質165x9.2.Field的Characteristic167x9.3.線性代數的應用171x9.4.ExtensionField175Chapter10.中級Field的性質179x10.1.AlgebraicElements179x10.2.AlgebraicClosure183x10.3.RootsofPolynomials186x10.4.FiniteFields189PartIGROUPChapter1初級Group的性質在本章中我們將介紹group的定義及其基本性質,我們也會介紹一些重要常見的gr

8、oup的例子.1.1.Group的基本定義任意給一集合S若要在這集合內的元素之間給一個運算「¤」怎樣的運算才算是好的運算呢？首先我們很自然的會希望集合中任兩元素運算後仍然在原集合