高一升高二暑假数学补课资料(专题一)

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1、专题一、常见简单不等式的解法一、一次不等式1、解法:通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化不ax>b的形式,若a>0则解集;若a<0则解集;若a=0,b<0则解集为;若a=0,b≤0则解集为。2、典例1:解不等式3、注意:当一次不等式中未知数的系数是字母时,要分未知数大于0,等于0,小于0三种情况来讨论。二、二次不等式1、解法:把二次项系数a化为正;求对应一元二次方程的根(先考虑十字相乘法,若不易因式分解再考虑用求根公式法);利用二次函数的图像(三个“一元二次”的关系)求出相应的解集,并用集合或区间表示。△>0△=0△<0一元二次函

2、数的图像一元二次方程的根的解集的解集2、典例2:解下列关于x的不等式(1)(2)(3)11(4)(5)(6)(7)(8)(9)典例3:解下列关于x的不等式(1)(2)(3)(4)(5)(6)典例4:关于x的不等式的解集为.典例5:(1)不等式对于恒成立,求的取值范围。11(1)不等式对于恒成立,求的取值范围。(2)函数的定义域为R,求实数的取值范围。(3)不等式对于任意实数恒成立,求的取值范围。典例6:若不等式有解,求实数的取值范围。3、注意:对与这种类型中因式分解求出两根的题型,我们先因式分解求出两根,然后再以两根的大小进行分类讨论;当

3、不易因式分解求出根时,我们应以的系数为0以及判别式时,得出参数值作为讨论依据。求出参数把数轴分为几部分,相应就分几种情况来讨论,在每一种情况里就变成了解基本不等式的题型。一、高次不等式1、解法:11将不等式右边化为0,左边分解成若干个一次因式或二次不可分因式的积;把每个因式的最高次项系数化为正数;将每一个因式的根从小到大依次标在数轴上;从右上方依次通过每个点画出曲线,遇到奇次因式的根对应的点,曲线穿过数轴,遇到偶次因式的根对应的点,曲线不穿过数轴,仍在数轴同侧迂回,即“奇穿偶不穿”。2、典例7:解关于的不等式(1)(2)(3)(4)(5)

4、(6)(7)(8)四、分式不等式1、解法:一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母,其基本步骤为:(1)标准化:移项、通分使右边化为0,即化为的形式;(2)转化为整式不等式(组):或或或的形式(3)分解因式,并使每一个因式中最高项的系数为正,最后用标根法求解。2、典例8:解下列关于的分式不等式(1)(2)(3)11(4)(5)(6)(7)五、绝对值不等式1、解法:(其中)口诀:大于取两边,小于取中间。题型一:或题型二:或题型三:()或(题型四:或基本思路是:利用零点分段法去掉绝对值符号,将转化为一般不等式。特别地:当时利用绝对值的几

5、何意义直接写出解集。题型五:或基本思路是:利用零点分段法去掉绝对值符号,将转化为一般不等式。题型六:或2、典例9:解下列关于的不等式(1)(2)(3)11(4)(5)(6)典例10:解下列关于的不等式(1)(2)(3)(4)典例11:解下列关于的不等式(1)(2)(3)(4)典例12:解下列关于的不等式(1)(2)(3)(4)11典例13:解下列关于的不等式(1)(2)(3)(4)六、指数不等式1、解法:利用函数单调性和图像解决含有指数的不等式。2、典例14:解下列关于的不等式(1)(2)(3)(4)3、注意:解与指数函数有关的不等式的基

6、本原则是:(1)把不等式两边化为同底的指数形式。用这个对数恒等式可以将任意常数化为的指数形式。(2)然后根据底数的范围,利用函数的单调性将原不等式转化为常见不等式。七、对数不等式1、解法:先将不等式中的常数转化为同底对数(),然后利用对数函数单调性及函数图像实现转换。2、典例15:解下列关于的不等式(1)(2)(3)11(4)(3)3、注意:解这种类型的不等式,首先利用对数恒等式将常数化为同底对数,然后根据对数单调性将原不等式转化为简单常见不等式,但是一定要注意对数中真数要大于零。八、三角不等式1、解法:利用三角函数图像或三角函数线来转换

7、。2、典例16:解下列关于的不等式(1)(2)(3)(4)1、注意:(1)解三角不等式时一定要牢记各种三角函数的图像,特殊角的三角函数值,及;若不是一个三角函数式,则需化为一个三角函数式的形式后再做。(2)常借助辅助角公式:其中,的值可由来确定,取锐角。或化为。(3)选择哪一个周期不影响答案的正确性,但实际做题时主要选择原点附近的一个周期,并使满足条件的答案形式尽量简单(能用一个不等式组表示解集时,就不要用多个不等式组来表示)。九、抽象不等式1、解法:所谓抽象函数型不等式,即不等式与一个抽象函数有关,同时已知抽象函数的定义域对称性或单调性

8、等,这一类不等式的解法是先根据单调性或对称性去掉函数符号,从而转化为一般不等式求解,但一定要注意定义域。2、典例17:设上为增函数,若,解关于的不等式,其中。11典例18:已知偶函数上递增,求

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1、专题一、常见简单不等式的解法一、一次不等式1、解法:通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化不ax>b的形式,若a>0则解集;若a<0则解集;若a=0,b<0则解集为;若a=0,b≤0则解集为。2、典例1:解不等式3、注意:当一次不等式中未知数的系数是字母时,要分未知数大于0,等于0,小于0三种情况来讨论。二、二次不等式1、解法:把二次项系数a化为正;求对应一元二次方程的根(先考虑十字相乘法,若不易因式分解再考虑用求根公式法);利用二次函数的图像(三个“一元二次”的关系)求出相应的解集,并用集合或区间表示。△>0△=0△<0一元二次函

2、数的图像一元二次方程的根的解集的解集2、典例2:解下列关于x的不等式(1)(2)(3)11(4)(5)(6)(7)(8)(9)典例3:解下列关于x的不等式(1)(2)(3)(4)(5)(6)典例4:关于x的不等式的解集为.典例5:(1)不等式对于恒成立,求的取值范围。11(1)不等式对于恒成立,求的取值范围。(2)函数的定义域为R,求实数的取值范围。(3)不等式对于任意实数恒成立,求的取值范围。典例6:若不等式有解,求实数的取值范围。3、注意:对与这种类型中因式分解求出两根的题型,我们先因式分解求出两根,然后再以两根的大小进行分类讨论;当

3、不易因式分解求出根时,我们应以的系数为0以及判别式时,得出参数值作为讨论依据。求出参数把数轴分为几部分,相应就分几种情况来讨论,在每一种情况里就变成了解基本不等式的题型。一、高次不等式1、解法:11将不等式右边化为0,左边分解成若干个一次因式或二次不可分因式的积;把每个因式的最高次项系数化为正数;将每一个因式的根从小到大依次标在数轴上;从右上方依次通过每个点画出曲线,遇到奇次因式的根对应的点,曲线穿过数轴,遇到偶次因式的根对应的点,曲线不穿过数轴,仍在数轴同侧迂回,即“奇穿偶不穿”。2、典例7:解关于的不等式(1)(2)(3)(4)(5)

4、(6)(7)(8)四、分式不等式1、解法:一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母,其基本步骤为:(1)标准化:移项、通分使右边化为0,即化为的形式;(2)转化为整式不等式(组):或或或的形式(3)分解因式,并使每一个因式中最高项的系数为正,最后用标根法求解。2、典例8:解下列关于的分式不等式(1)(2)(3)11(4)(5)(6)(7)五、绝对值不等式1、解法:(其中)口诀:大于取两边,小于取中间。题型一:或题型二:或题型三:()或(题型四:或基本思路是:利用零点分段法去掉绝对值符号,将转化为一般不等式。特别地:当时利用绝对值的几

5、何意义直接写出解集。题型五:或基本思路是:利用零点分段法去掉绝对值符号,将转化为一般不等式。题型六:或2、典例9:解下列关于的不等式(1)(2)(3)11(4)(5)(6)典例10:解下列关于的不等式(1)(2)(3)(4)典例11:解下列关于的不等式(1)(2)(3)(4)典例12:解下列关于的不等式(1)(2)(3)(4)11典例13:解下列关于的不等式(1)(2)(3)(4)六、指数不等式1、解法:利用函数单调性和图像解决含有指数的不等式。2、典例14:解下列关于的不等式(1)(2)(3)(4)3、注意:解与指数函数有关的不等式的基

6、本原则是:(1)把不等式两边化为同底的指数形式。用这个对数恒等式可以将任意常数化为的指数形式。(2)然后根据底数的范围,利用函数的单调性将原不等式转化为常见不等式。七、对数不等式1、解法:先将不等式中的常数转化为同底对数(),然后利用对数函数单调性及函数图像实现转换。2、典例15:解下列关于的不等式(1)(2)(3)11(4)(3)3、注意:解这种类型的不等式,首先利用对数恒等式将常数化为同底对数,然后根据对数单调性将原不等式转化为简单常见不等式,但是一定要注意对数中真数要大于零。八、三角不等式1、解法:利用三角函数图像或三角函数线来转换

7、。2、典例16:解下列关于的不等式(1)(2)(3)(4)1、注意:(1)解三角不等式时一定要牢记各种三角函数的图像,特殊角的三角函数值,及;若不是一个三角函数式,则需化为一个三角函数式的形式后再做。(2)常借助辅助角公式:其中,的值可由来确定,取锐角。或化为。(3)选择哪一个周期不影响答案的正确性,但实际做题时主要选择原点附近的一个周期,并使满足条件的答案形式尽量简单(能用一个不等式组表示解集时,就不要用多个不等式组来表示)。九、抽象不等式1、解法:所谓抽象函数型不等式,即不等式与一个抽象函数有关,同时已知抽象函数的定义域对称性或单调性

8、等,这一类不等式的解法是先根据单调性或对称性去掉函数符号,从而转化为一般不等式求解,但一定要注意定义域。2、典例17:设上为增函数,若,解关于的不等式,其中。11典例18:已知偶函数上递增,求

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