江苏省南通中学2015年高二上学期期末考试数学试卷

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1、江苏省南通中学年高二上学期期末考试数学试卷一、填空题：本大题共小题，每小题分，共计分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．计算：▲．．函数()＝的单调增区间是▲．．已知复数(－)，则的模为▲．[来源:学科网]．曲线在点处的切线方程为▲．．如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前项，则这个数列的一个通项公式为▲．．已知函数的导函数为，且满足，则▲．（第题）．已知复数，则的取值范围是▲．．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为▲．．如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为▲．．

2、设是函数＝(＋)图象上异于原点的动点，且该图象在点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是▲．．已知定义域为的函数对于任意的都满足．若<<，则()▲()（请从“>”，“<”，“”中选择正确的一个填写）．．设直线＝分别与曲线＝和＝交于点，，则当线段取得最小值时实数的值为▲．．已知点，是函数的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段总是位于，两点之间函数图象的上方，因此有结论成立.运用类比思想方法可知若点，是函数的图象上的不同两点，则类似地有▲成立．．若不等式－≥对任意(，]都成立，则实数的取值范围是▲．

3、二、解答题：本大题共小题，共计分．请注意文理科类，并在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．（本小题共分）已知复数（）．（）求实数为何值时，为实数；（）求实数为何值时，为虚数；（）求实数为何值时，为纯虚数．．（本小题共分）已知曲线：与直线相切，其中为自然对数的底数．（）求实数的值；（）求曲线上的点到直线的距离的最小值，并求出取得最小值时点的坐标．[来源:学科网]．（本小题共分）某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查投入广告费(百万元)，可增加销

4、售额约为－＋(百万元)(≤≤)(注：收益＝销售额－投放)．（）若该公司将当年的广告费控制在百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？（）现该公司准备共投入百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费(百万元)，可增加的销售额约为－＋＋(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．．（本小题共分）（理）已知数列的前项和．（）计算数列的前项；（）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．（文）求证：，，不可能是一个等差数列中的三项．．（本小题共分）已

5、知函数，其中，．（）当时，求的单调区间；（）证明：对任意的，函数在区间内均存在零点．.（本小题共分）已知，函数，为自然对数的底数．（）若，求函数取得极值时所对应的的值；（）若不等式恒成立，求的取值范围．班级答题卡号座位号姓名装订线内请勿答题高二数学答题纸一、填空题：（本大题共小题，每小题分，计分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）．．．．．．．．．．．．．．二、解答题：（本大题共小题，计分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内）..（本题满分分

6、）.（本题满分分）.（本题满分分）.（本题满分分）.（本题满分分）.（本题满分分）高二数学答案一、填空题：．．．．．．-．．．．．<．．．≥二、解答题：．解：（）当为实数时，则解得.所以，当时，为实数．（）当为虚数时，则解得．所以，当且时，为虚数．（）当为纯虚数时，则解得．所以，当时，为纯虚数．．解：（）设曲线：与直线相切的切点的横坐标为，由得切线的斜率，所以，所以切点坐标为，代入直线得.（）由（）得曲线的方程为：，当过点的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，设点的横坐标为，由得切线的斜率，所以，

7、所以所求点的坐标为，所求距离的最小值为．．解：()设投入(百万元)的广告费后增加的收益为()(百万元)，则有()＝(－＋)－＝－＋＝－(－)＋(＜≤)，所以当＝百万元时，()取得最大值百万元．即投入百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大．()设用技术改造的资金为(百万元)，则用于广告促销的资金为(－)(百万元)，则有()＝＋[－(－)＋(－)]－＝－＋＋(≤≤)所以′()＝－＋.令′()＝，解得＝，或＝－(舍去)．又当≤＜时，′()＞，当＜≤时，′()＜．故()在[]上是增函数，在[]上是减函

8、数．所以当＝时，()取最大值，即将百万元用于技术改造，百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．．（理）解：（）由，得．由，得．由，得．由，得．（）猜想．下面用数学归纳法证明：①时，左边，右边，猜想成立．②假设当时，猜想成立，即，此时．则当时，由，得，所以．因此，当时，等式也成立．由①②可知，对均成立．（文）证明：假设，，为同一等差数列中的三项，则存在两个不相等的整数，以及实数，使得，．所以．因为上式左边为无理数，右边为有理数，所以等式不成立，所以假设不成立，即，