【教学设计】《基本不等式：√ab≤(a b)2》（人教）

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1、《基本不等式：≤》◆教学目标、知识与技能（）理解两个实数的平方和不小于它们之积的倍的不等式的证明；（）理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；（）能够运用基本不等式解决生活中的应用问题。、过程与方法本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。、情感态度与价值观培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力，进一步培养学

2、生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性。◆教学重难点◆【教学重点】两个不等式的证明和区别。【教学难点】理解“当且仅当时取等号”的数学内涵。◆教学过程（一）新课导入这是年在北京召开的第届国际数学家大会会标。会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。（二）新课讲授在正方形中有个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边的长为、，那么正方形的边长为。这样，个直角三角形的面积和小于正方形的面积,故≥。当直角三角形变为等腰直角三角形,即时,正方形缩为一个点,这时有

3、。证明不等式≤(>，>)?证明：　∵＋－＝()＋()－·＝(－)≥，当且仅当＝时，等号成立，∴＋≥，∴≤，当且仅当＝时，等号成立。基本不等式的几何解释：如图，是圆的直径，是上一点，＝，＝，过点作垂直于的弦，连结，。由射影定理或三角形相似可得＝，由小于或等于圆的半径，可得不等式≤。当且仅当点与圆心重合，即当＝时，等号成立。（三）例题探究例　已知，，∈，求证：＋＋≥＋2c＋2a。证明：由基本不等式可得＋＝()＋()≥2a，同理，＋≥2c，＋≥2a2c，∴(＋)＋(＋)＋(＋)≥2a＋2c＋2a2c，从而＋＋≥＋2c＋2a

4、。跟踪训练设>，>，证明：＋≥＋。证明：∵>，>，∴＋≥，＋≥2a，∴＋≥＋。例　()已知，＞，且＋＝，求的最大值；()已知＞，求()＝＋的最小值；()设＞，＞，且＋＝，求＋的最小值。[解]　()∵，＞且＋＝，∴由基本不等式可得≤＝＝，当且仅当＝＝时，取得最大值。()∵＞，∴－＞，＞，于是()＝＋＝－＋＋≥＋＝，当且仅当－＝即＝时，()取得最小值。()法一：∵＞，＞＋＝，∴＋＝＋＝＋＋≥＋＝＋，当且仅当＝，即＝时，等号成立，解得＝－，＝－，∴当＝－，＝－时，＋有最小值＋。法二：＋＝·＝(＋)＝＋＋≥＋＝＋，以下同法一

5、。跟踪训练　()已知＋＝，求＋的最小值；()设>，>，且＋＝，求＋的最小值。解：()由＋＝可得＝，即＝，且＞，＞，因此由基本不等式可得＋≥＝＝，当且仅当＝＝时，＋取得最小值。()方法一：由＋－＝及>，>，得＋＝。∴＋＝(＋)＝＋＋≥＋＝。当且仅当＝，即＝＝时等号成立。∴＋的最小值是。方法二：由＋－＝，得(－)＝。∵>，>，∴－>，＝，∴＋＝＋＝＋＝(－)＋＋≥＋＝。当且仅当－＝，即＝时，等号成立。∴＋的最小值是。例　某工厂生产某种产品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为(，，均大于

6、零)则(　　)、＝、≤、＞、≥答案：解析：第二年的产量为＋·＝(＋)，第三年产量为(＋)＋(＋)·＝(＋)(＋)。若平均增长率为，则第三年产量为(＋)。依题意有(＋)＝(＋)(＋)，∵＞，＞，＞，∴(＋)＝(＋)(＋)≤，∴＋≤＝＋，∴≤。跟踪训练　设＞＞，＝，＝，＝，则，，的大小关系是(　　)、＜＜、＜＜、＜＜、＜＜答案：解析：∵＞＞，∴＞＞，∴＞，即＞。①又＞，∴＞＝(＋)，即＞。②综合①②，有＜＜。例如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。()现有长的钢筋网材料

7、，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？()若使每间虎笼面积为2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解：()设每间虎笼长为，宽为，则由条件得＋＝，即＋＝，设每间虎笼面积为，则＝。由于＋≥＝，∴≤，得≤，即≤，当且仅当＝时，等号成立，由解得故每间虎笼长为，宽为时，可使面积最大。()设每间虎笼第为，宽为。法一：由条件知＝＝，设钢筋网总长为，则＝＋。∵＋≥＝＝，∴＝＋＝(＋)≥，当且仅当＝时，等号成立。由解得故每间虎笼长，宽时，可使钢筋网总长最小。法二：由＝，得＝。∴＝＋＝

8、＋＝≥×＝，当且仅当＝，即＝时，等号成立。此时＝。故每间虎笼长，宽时，可使钢筋网总长最小。跟踪训练　某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深为，如果池底每的造价为元，池壁每的造价为元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？解：设水池底面一边的长度为，则另一边的长度为。又设水池总造价为元，根据题意，得＝×＋×(×＋××)＝＋×≥