清华大学 抗震工程概论第02讲

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1、抗震工程概论教案第2讲第3章地震波3.1概述地震发生时，震源释放的能量以波的形式从震源向周围地球介质传播，这种波称为地震波。地震波产生地面运动，导致了建筑结构的破坏。地震波既是地震产生的后果（结果），又是导致结构物地震破坏的直接原因，同时地震波携带着地震震源及地球介质的信息，是研究震源和地球构造的基础，因此地震波是地震学的理论基础。地震波的用途和作用：①研究地震震源机制。作为地震产生的结果，地震波可以用来研究产生该结果的原因，因此通过对地震波的分析和模拟可以揭示震源的几何和物理力学参数，以及地震断层的破裂传播过程等。②研究地球介质的结构。地

2、球的深部构造、地球内部的分层结构的确定往往是通过对地震波记录的分析获得的。③正确估计结构地震反应。地震波是引起结构破坏的原因，对原因特征的了解是正确估计结构地震反应的基础。在大型复杂结构抗震问题研究中，常常需要进行结构多点输入，多维输入的地震反应分析，当计算分析方法合理可靠时，地震动空间分布场的特性确定是否正确，决定了分析结果是否可靠。地震动空间分布特性是地震工程中一个十分重要的研究课题。小波变换方法也常常用于地震波动特性的分析，小波变换可以研究波动频率成分随时间的改变，而频率的变化对已出现损伤的结构的反应有时可以产生重要影响。波动是能量的

3、传播，而不是介质物质的传播，这可以用水波为例说明。固体介质中的波可以分为弹性波、非线性波、弹塑性波。在震源及邻近区域，介质的变形是非线性的，而离开震源一定距离后，岩石则表现为线弹性的。在线弹性介质中传播的波称为弹性波，地震波理论一般都是弹性波理论。在弹性波理论中，最简单的是一维波动理论。在一维波动问题中，仅用一个空间坐标就能确定波场的空间分布。求解一维波动方程可以避免多维空间造成的数学困难，有利于阐明波动过程的物理概念。同时在结构地震反应分析中，采用一维介质模型考虑土层场地的影响，对于构造规则的多层结构也有研究人员采用一维剪切型结构进行研究

4、的，所以一维波动分析在波动理论研究及实际应用两方面都有重要作用。3.2、一维行波与简谐波1、一维波动方程一维剪切直杆，剪切模量G，质量密度ρ，横截面积Auuxx图3.1一维剪切直杆及其变形1抗震工程概论教案第2讲剪切杆的运动状态完全由杆轴线的横向位移u表示uu=(,xt)x－空间坐标，固定在未变形状态杆的轴线上，t－时间坐标。为建立剪切杆的运动方程，分析如图3.2所示的微元体。图3.2中，F为横截面上的剪力；ρ为介质的质量密度；A为横截面积。∂FF+dx∂xF2∂uρAdx2∂tdx图3.2剪切直杆的微元体受力图应用达朗伯原理，得到微元体力

5、的平衡方程2∂∂Fu()Fd+−xF−ρAdx=02∂∂xt其中横截面上的剪力F与剪应力τ的关系为FA=τ整理平衡方程得到2∂u∂τρ=2∂tx∂再应用几何方程：∂uγ=∂x物理方程：τ=Gγ可以得到一维标准波动方程22∂u2∂u=c22∂t∂x其中c=Gρ是描述波动的重要系数，称为波速。对波动方程有两类基本解法：时域解法和频域解法。时域解法——直接解偏微分方程。频域解法——通过积分变换，变偏微分方程为常微分方程，然后求解。2、一维行波解为得到一维波动方程的时域解，可以引入如下形式的变量代换ξ=x−=ct,ηx+ct由复合函数求导规则可以得

6、到2抗震工程概论教案第2讲∂∂uu∂∂ξu∂η∂u∂u=+=+∂∂xxξ∂∂ηξ∂x∂∂η∂∂uu∂∂ξu∂η∂u∂u=+=−cc+∂∂ttξ∂∂ηξ∂t∂∂η二阶导数为2222∂∂uu∂u∂u=+2+222∂∂xξ∂ξη∂∂η2222∂∂uu2∂u∂u=−c(2+)222∂∂tξ∂ξη∂∂η将以上两式代入到波动方程中得到2∂u=0∂∂ξη对以上波动方程直接积分得到∂u==Fu()ξ,(ξη,)f()ξ+g(η)∂ξ将变量变换为原来的变量x，t，可得到一维波动方程的时域一般解如下ux(,t)=f(x−+ct)g(x+ct)式中f(·)和g(

7、·)代表任意函数。由上式给出的解式被称为达朗贝尔解，也称为行波解，即行进波解，这是1747年由达朗贝尔给出的一维波动方程的经典解答。为研究波动方程解的性质，考察一般解的第一项，令ux(,t)=f(x−ct)当t=0时，波形，即位移u相对空间坐标x的变化图形为uf=(x)t=0当t=t1时，波形为uf=()x−cttt=11对比以上两式发现，在t=0和t=t1时刻，波形不发生变化，而仅沿x轴做一空间平移，移动距离为dc=t11可见波形在时间t1内平移了d1的距离，而波的形状不变，波形移动的速度为c。因此，u=f(x-ct)表示一个以速度（波速

8、）c沿x轴正向传播的波，波动的传播示意图见图3.3。uu=f(x)xf(0)点在x=0处uct1xf(0)点在x=d1处图3.3波动传播示意图同理可以证明u=g(x+ct)是一个