第60课时等差数列、等比数列综合应用(2)

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1、启东市汇龙中学2012届高三一轮复习必修5第3章数列等差数列、等比数列综合应用(2)主备人：李俭昌总第60导学案授课日期：【学习目标】1.掌握等差数列、等比数列的基本概念与性质，熟练掌握通项公式与前n项和的求解方法；2.掌握可以转化为等差、等比数列的数列的求解方法；3.理解函数思想在等差，等比数列中的运用。【教学过程】学生自学1．设数列是公比为2的等比数列，则解：因为数列是公比为2的等比数列，所以，所以，所以79.52．设数列，则数列{}的通项公式是解：当时，，又因为，两个等式相减即得，又时也适合，所以。3．已知数列

2、的通项公式为，则当n=时，最大。4.已知数列满足，，则数列的通项公式为，的最小值为解析：由可知，，，…。以上各式相加得到，所以。这时=，所以当n=5时，有最小值。5.已知数列满足，类比课本中推导等比数列前n启东市汇龙中学2012届高三一轮复习项和公式的方法，可求得=_________________________解：因为，所以，两等式相加得到，所以==1+1+1+…+1=。展示交流例1.例1等差数列中，，，从这个数列中依次抽出这个数列的第项，组成一个新的数列，求数列的通项公式和前项和公式．例2.在数列中，，，．（1

3、）证明数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）比较与（）的大小解、（1）证明：由题设，得，．又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．注意：用=……=4求解（2）解：由（1）可知，于是数列的通项公式为．所以数列的前项和．（3）证明：对任意的，启东市汇龙中学2012届高三一轮复习．所以不等式，对任意皆成立．例3.已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2＝an(Sn－)．(Sn－1·Sn≠0)(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.解：(1)∵Sn2＝an(Sn－)，

4、an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∴Sn2＝(Sn－Sn－1)(Sn－)，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn①由题意Sn－1·Sn≠0，故①式两边同除以Sn－1·Sn，得－＝2.∴数列是首项为＝＝1，公差为2的等差数列，∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝.(n∈N*)(2)∵bn＝＝＝(－)，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝.启东市汇龙中学2012届高三一轮复习训练提升11.各项非零的数列｛a｝，首项a=1,且2S=2aS－a,n≥2,（1）求证：数列｛｝是等差数列，（2）

5、求数列的通项a2.已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；解：（1）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5

6、（）（2）由（Ⅰ）得知＝＝，故Tn＝＝＝（1－）.因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.评价小结启东市汇龙中学2012届高三一轮复习1．评价：2．小结：【方法规律】检测反馈1.在等比数列{}中，若，则=解：因为，所以，所以2.等差数列的前n项和为，已知，,则解：因为，所以，所以（0舍弃），又因为，所以。3.已知函数所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{}的第二项与第三项，若，数列的前项和为，则=解：函数经过定点（2,3），所以数列{}的通项公式为，所以==4.

7、已知数列满足：为正整数），，若，则所有可能的取值为。解：因为，当为奇数时，由，解得=0，不适合；当为偶数时，由，解得=2，适合，所以=2；当为奇数时，由，解得=，不适合；当为偶数时，由，解得=4，适合，所以=4；启东市汇龙中学2012届高三一轮复习当为奇数时，由，解得=1，适合；当为偶数时，由，解得=8适合，所以=1或=8；若=1，由上面的求解可知；若=8，当为奇数时，由，解得=，不适合；当为偶数时，由，解得=16，适合；所以=16；当为奇数时，由，解得=5,；当为为偶数时，由，解得=16；综上所述，=4或5或16。

8、【预习指导】复习函数的图像和性质，完成下一节的学生自学部分【课后作业】见《教学与测试》配套课时作业