第十五讲 重叠问题

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1、第15讲重叠问题一、知识要点和基本方法在解答题目时要涉及重叠部分的数量的问题，我们把这类问题称为重叠问题．解答重叠问题一般用公式法或图象法．公式法：运用容斥原理一：C＝＝A＋B－AB，这一公式可计算出两个集合圈的有关问题．运用容斥原理二：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC，这一公式可计算出三个集合圈的有关问题．图象法：不是利用容斥原理的公式计算，而是根据题意画图，并借助图形帮助分析，逐个地计算出各个部分，从而解答问题．二、例题精讲例1某班40位同学在一次数学测验中，答对第一题的有23人，答对第二题的有27人，两题都答对的有17人，问有几个同学两题都

2、不对？解如果把答对第一题的人数和答对第二题的人数相加，减去两题都答对的学生数，就能求出全班至少答对一题的人数．再用全班学生数减去全班至少答对一题的人数，就能求出有多少位同学两题都不对．根据容斥原理一得：40－（23＋27－17）＝40－33＝7（人）答：有7位学生两题都没有做对．例2某班有学生48人，其中21人参加数学竞赛，13人参加作文竞赛，有7人既参加数学竞赛又参加作文竞赛．那么（1）只参加数学竞赛的有多少人？（2）参加竞赛的一共有多少人？（3）没有参加竞赛的一共有多少人？解根据题意先作图（图15－1）：图15-1（1）从图上可清楚看出只参加数学竞赛

3、的有21－7＝14（人）．（2）根据容斥原理一得：参加竞赛的共有21＋13－7＝27（人）．（3）没有参加竞赛的一共有48－27＝21（人）．例3在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好者有75人，那么既爱好音乐，又爱好体育的人最少有多少人？最多有多少人？解如图15－2，当100人都是或者音乐爱好者，或者体育爱好者时，这两者都爱好的人数为最小值即56＋75－100＝31（个）．图15-2当所有的音乐爱好者都是体育爱好者时，这两者都爱好的人为最大值即56人．例4某校对五年级100名同学进行学习兴趣调查，结果有58人喜欢语文，有38人喜欢数学，有52人

4、喜欢外语．而且喜欢语文和数学（但不喜欢外语）的有6人，喜欢数学和外语（但不喜欢语文）的有4人，三科都喜欢的有12人，而且每人至少喜欢一科．问有多少同学只喜欢语文？解如图15－3：设只喜欢语文、外语的有人．图15-3根据容斥原理二得：100＝58＋52＋38－（6＋12＋12＋＋12＋4）＋12解得＝14．58－6－12－14＝26（人）答：只喜欢语文的同学有26人．例5分母是1001的最简真分数有多少个？它们的和是多少？解我们知道最简真分数即是分子与分母互质且分子比分母小的分数．因为1001＝7×11×13．在1至1000中：7的倍数有［1000÷7］＝

5、142（个）11的倍数有［1000÷11］＝90（个）13的倍数有［1000÷13］＝76（个）7×11的倍数有［1000÷77］＝12（个）7×13的倍数有［1000÷91］＝10（个）11×13的倍数有［1000÷143］＝6（个）7×11×13的倍数有［1000÷1001］＝0（个）根据容斥原理得：能被7整除，能被11整除或被13整除的数共有142＋90＋76－12－10－6＋0＝280（个）．那么，1至1000中，不能被7整除、不能被11整除，也不能被13整除的数共有；1000－280＝720（个）．也就是说分母是1001的最简真分数有720个．

6、由于若（N＜1001）是最简真分数，那么也是最简真分数．这样720个最简真分数的和等于720÷2＝360．答：分母是1001的最简真分数有720个．它们的和是360．例6某大学英语专业开设第二外语，学校规定学生在法语、日语、俄语中至少选一门，该班有学生34人，选学法语的有21人，选学日语的有19人，选学俄语的有10人，其中4人同时选学法语和俄语，5人同时选学日语和俄语，没有同学同时选学三门的，同时选学法语和日语的有多少人？解设同时选学法、日语有人．图15-4根据题意得：21＋（19－）＋（10－4－5）＝34解得：＝7所以，同时选学法语和日语的有7人．例

7、7某班学生中78％喜欢游泳，80％喜欢玩游戏机，84％喜欢下棋，88％喜欢看小说．该班学生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是多少？解该班学生中：不喜欢游泳的有1－78％＝22％不喜欢玩游戏机的有1－80％＝20％不喜欢玩下棋的有1－84％＝16％不喜欢看小说的有1－88％＝12％那么至少不喜欢其中一种活动的学生最多占全班学生人数的：22％＋20％＋16％＋12％＝70％所以该班学生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是1－70％＝30％．练习题A组1．某班学生在一次期末语文和数学考试中，语文得优的有15人，数学得优的有24人，其中语文、数学都

8、得优的有12人．全班得优的共有多少人？2．50名学生答A、B两题，其中没答对A题