同济大学第五版高数第3章4节

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1、二、单调区间的求法三、函数极值的定义六、应用举例第四节一、单调性的判别法函数的单调性与极值第三章五、最大值的求法四、函数极值的求法一、单调性的判别法定理证应用拉氏定理,得例1解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．二、单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:例2解单调区间为例3解单

2、调区间为例4证注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,三、函数极值的定义定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.四、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,定理2(第一充分条件)(是极值点情形)求极值的步骤:(不是极值点情形)例1解列表讨论极大值极小值图形如下定理3(第二充分条件)证同理可证(2).例2解图形如下注意:例3解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.五、最值的求法步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,

3、那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)六、应用举例例1解计算比较得点击图片任意处播放暂停例2敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？解(1)建立敌我相距函数关系敌我相距函数得唯一驻点实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;例3某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租

4、不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解设房租为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为点击图片任意处播放暂停例4解如图,解得小结1、单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.2、极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分

5、条件;第二充分条件;(注意使用条件)3、注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤.一、曲线凹凸的定义二、曲线凹凸的判定三、曲线的拐点及其求法一、曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方定义二、曲线凹凸的判定定理1例1解注意到,三、曲线的拐点及其求法1、定义注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2、拐点的求法证方法1:例2解凹的凸的凹的拐点拐点方法2:例3解注意:例4解四、小结曲线的弯曲方向——凹凸性;改变弯曲方向的点——拐点;凹凸

6、性的判定.拐点的求法1,2.一、渐近线二、图形描绘的步骤三、作图举例一、渐近线定义:1.铅直渐近线例如有铅直渐近线两条:2.水平渐近线例如有水平渐近线两条:3.斜渐近线斜渐近线求法:注意:例1解二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步第三步第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;第五步列表曲线过点(0,0)12(1,2)00–+xyy–––––+驻点：x=1x=210.函数作图极大值(拐点)故y=0为水平渐近线因图形：X0y1渐进线：y=0(0,0)2.10..(x+∞)列表–xy

7、y..对函数进行全面讨论并画图：解所以，曲线有渐近线x=00(拐点)++因（牛顿三叉戟线）––––00++3极小值+11.0.间断点0xy3牛顿三叉戟线11..列表–xyy.对函数进行全面讨论并画图：解所以，曲线有渐近线y=0，因++–++0因y(–x)=–y(x)，图形关于原点对称。–101–0(拐点)间断点间断点–+及x=1，x=–1x=012.0xy1–112..列表–xyy对函数进行全面讨论并画图：解所以，曲线有渐近线y=00最小值+因图形关于y轴对称.=2>0<013.考虑x>0=–2..0xyarctan2

8、13..对函数进行全面讨论并画图：列表–xyy+.对函数进行全面讨论并画图：解(在定义域内)所以，曲线有渐近线y=1及x=-110最小值++因+>0>114.0xy1–11渐进线y=1(1,0)渐进线y=1图形:.14.列表–xyy.解故曲线有渐近线y=x+和y=x