功率谱密度和白噪声过程(I)

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1、恩格斯：傅立叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗麦克斯韦：一首伟大的数学的诗傅里叶《热的解析理论》所有的声音，无论是噪音还是仪器发出的，复杂的还是简单的，都可以用数学方式进行全面的描述。傅立叶的证明具有深刻的哲学意义：美妙的音乐以令人意想不到的美妙方式得到了数学描述，从而，艺术中最抽象的领域能转换为最抽象的科学；而最富有理性的学问，也有合乎理性的音乐与其密切相联。音乐是感觉中的数学，而数学是推理中的音乐，两者的灵魂是完全一致的！音乐家可感觉到数学，而数学家也可以想象到音乐，虽说音乐是梦幻，而数学是现实，但当人类智慧到完美的境界时，音乐和数学就互相渗

2、透而融为一体了。所以，数学是推理中的音乐，而音乐则是感觉中的数学。傅里叶级数与变换的意义平稳随机过程的功率谱密度白噪声随机过程主讲人：张有光电话：82314978办公室：新主楼F806第五讲：主要内容一、平稳过程的功率谱密度二、谱密度与自相关函数三、平稳过程的互谱密度四、白噪声过程一、平稳过程的功率谱密度能量型信号信号的频谱信号的能谱功率型信号平均功率的谱表示和功率谱密度平稳过程的功率谱密度1、能量型信号能量型信号其中，s(t)为信号，W为总能量。2、信号的频谱在的情况下，能量型信号s(t)的傅里叶变换存在，即称F(ω)为信号s(t)的频谱。？3、信号

3、的能谱密度能量型信号的能谱E(ω)为由巴塞伐尔等式，可得到能量守恒！信号的总能量信号的能谱密度4、功率型信号能量无限，平均功率有限的信号称为功率型信号,即Ps为信号的平均功率。5、平均功率的谱表示功率型信号不满足绝对可积条件为了能够利用傅里叶变换给出平均功率的谱表示式，构造截尾函数：平均功率的谱表示sT(t)能够满足绝对可积条件，sT(t)的频域结构sT(t)的平均功率：平均功率的谱表示由巴塞伐尔等式，可得到两边同除以2T，并由截尾函数的定义，得到平均功率的谱表示令T趋于无穷，功率型信号s(t)在(-∞,∞)上的平均功率可表示为功率型信号的平均功率谱密

4、度功率谱密度功率型信号的平均功率谱密度，简称功率谱密度，定义为：6、平稳过程的功率谱密度平稳随机过程的样本函数是功率型的为平稳过程X(t)的平均功率。定义6、平稳过程的功率谱密度由于平稳随机过程的均方值是常数平稳过程的功率谱密度定义为平稳随机过程X(t)的功率谱密度。这样，Px又可以写成平均功率谱的表达式平稳过程的功率谱密度为双边功率谱密度，但在实际应用中，负频率不存在，故引入单边谱密度二、谱密度与自相关函数1、功率谱密度与自相关函数2、功率谱密度的两种定义3、功率谱密度的性质1、谱密度与自相关函数的关系平稳随机过程的功率谱密度是它的自相关函数的傅立叶

5、变换：①由于是实函数谱密度与自相关函数的关系由傅里叶逆变换公式，有上述两式统称为维纳-辛钦公式②注释：对比“信号与系统”中维纳辛钦公式2、功率谱密度两种定义的等价条件对于第一种定义，将其展开功率谱密度两种定义的等价条件通过变量置换，最后得到：只要则上式中第二项为零，故此时平稳随机过程在自相关函数绝对可积的情况下，维纳-辛钦公式成立。此时功率谱密度的两种定义等价。功率谱密度两种定义的等价条件功率谱的意义3、功率谱密度的性质若过程X(t)是实平稳的，则自相关函数是实偶函数，因此功率谱密度也是实偶函数，即证明：功率谱密度的性质由于R(τ)和S(ω)都是偶数，

6、于是维纳-辛钦公式还可以写成：例2.4-1设随机相位余波的功率谱密度，其是在区间内均匀分布.解：例2.4-2随机电报信号自相关函数求功率谱密度例2.4-3已知功率谱留数和应用留数定理例2.4-4若平稳随机过程功率谱三、互谱密度1、互谱密度的定义2、互谱密度的维纳-辛钦公式3、互谱密度的性质1、互谱密度的定义定义：设随机过程X(t)和Y(t)是联合平稳的，则定义互谱密度为2、互谱密度的维纳-辛钦公式随机过程X(t)和Y(t)的互谱密度是它们的互相关函数RXY(τ)的傅里叶变换：2、互谱密度的维纳-辛钦公式当若X(t)是一个二端电压、Y(t)是流经该器件的

7、电流，则上式左边就是消耗的功率。两个正交随机过程性质随机过程X(t)和Y(t)正交此时有：随机过程X(t)和Y(t)正交3、互谱密度的性质先证明：令：互谱密度函数：不是实的、正的偶函数从定义和施瓦茨不等式3)四、白噪声过程1、白噪声过程的定义2、白噪声过程的自相关函数3、白噪声的相关系数1、白噪声过程的定义若一个均值为零的平稳过程具有恒定功率谱密度则称W(t)为白噪声过程,其中N0表示单边功率谱密度相当于《信号与系统》中的脉冲函数2、白噪声过程的自相关函数根据维纳-辛钦公式，白噪声过程的自相关函数：2、白噪声过程的自相关函数白噪声的自相关函数和功率谱密

8、度3、白噪声过程的相关系数注释：白噪声平均功率白噪声是一种理想化的数学模型，在物理上不可实现，