函数的极值与导数(III)

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1、函数的极值与导数2、用导数法确定函数的单调区间的步骤：（3）求解不等式,求得其解集，再根据解集与定义域写出单调递增区间求解不等式,求得其解集，再根据解集与定义域写出单调递减区间(1)求函数的定义域(domain)（2）求出函数的导函数(derivativefunction)即求一、复习：1.函数的单调性与导数的关系：求函数y=2x3-6x2+7的单调区间，画出其草图课前练习x0y3、问题情境观察右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,问题1：函数在X=0的函数值与它附近所有各点的函数值的关系？2我们说f(0)是函数的一个极大值；问题2

2、：函数在X=2的函数值与它附近所有各点的函数值的关系？我们说f(2)是函数的一个极小值。ABx0y一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义1、定义函数极值（extremevalue）x0yAB2注：f(x0)------极值点x０------极值点如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，则称f(x0)是函数的一个极大值如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，则称f(x0)是函数的一个极小值2、探索思考：①函数y=f(x)在哪些点取得极大值？哪些点取得极小值？④函数的极大值一定大于极小值吗?②y=f(x)在这

3、些点的导数值是多少？③在这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？oaX1X2X3X4bxyBAFCED若x0满足1.f/(x)=0.2.在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,①若f/(x)在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;oaX00bxy结论:oaX0bxy则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.②若f/(x)在x0两侧满足“左负右正”,三、例题选讲:例1:求的极值.解:∵f(x)=x2-4,由f(x)=0解得x1=2,x2=-2.∴当x=2时,

4、y极小值=28/3；当x=-2时,y极大值=-4/3.f(x)f(x)x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)+00-+极大值28/3极小值-4/3当x变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表：求函数y=f(x)的极值的步骤:(1):如果在x0附近的左侧f/(x)>0右侧f/(x)<0,那么f(x0)是极大值;(2):如果在x0附近的左侧f/(x)<0右侧f/(x)>0,那么f(x0)是极小值.2.解方程f/(x)=0.1.求导数3.列表4.结论：例题2:求函数的极值.解:令=0,解得x1=-1,x2=1.当x变化时,,y的

5、变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(2,+∞)y’-0+0-y↘极大值-3↗极小值3↘因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3;而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=-3.(1)y=3x2-x3(2)y=(x2－1)2+1练:用导数法求解函数极值：四.探索思考:1.导数值为0的点一定是函数的极值点吗?结论：函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.2.（2006年天津卷)函数的定义域为开区间导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有（）个极小值点。课外练习:1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3

6、既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为.(A)1(B)2(C)3(D)41.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.思考2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2,试求函数的极大值与极小值的差小结：1.极值的定义：3.求极值的步骤:1).求导数2).解方程f/(x)=0.3).列表4).结论：（1）f/(x0)=0(2)在x0两侧异号2可导函数y=f(x)在x0处有极值的特点：