内容总结及典型例题

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1、1、多元函数的极限说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．存在性——定义，夹逼定理不存在——特殊路径、两种方式求法——运算法则、定义验证、夹逼定理消去致零因子、化成一元极限等2、多元函数的连续性3、偏导数概念定义、求法偏导数存在与连续的关系高阶偏导数——纯偏导、混合偏导4、全微分概念定义可微的必要条件可微的充分条件利用定义验证不可微多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导5、复合函数求导法则“分道相加，连线相乘”法则的推广——任意多个中间变量，任意多个自变量如何求二阶偏导数6、全微分形式不变性无论是自变量的

2、函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.7、隐函数的求导法则①公式法②直接法③全微分法8、微分法在几何上的应用(1)空间曲线的切线与法平面(２)曲面的切平面与法线求直线、平面的方程定点（过点）、定向（方向向量、法向量）曲线：参数式，一般式给出曲面：隐式、显式给出求隐函数偏导数的方法10、多元函数的极值9、方向导数与梯度定义计算公式（注意使用公式的条件）梯度的概念——向量梯度与方向导数的关系极值、驻点、必要条件充分条件（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．（1）内点一定是聚点；（2）

3、边界点可能是聚点；例如，(0,0)既是边界点也是聚点．注意：是指P以任何方式趋于P0.一元中多元中确定极限不存在的方法：例3设解但取其值随k的不同而变化。不存在．故注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能在曲线上的所有点处均间断。例如，因此，例5讨论函数在(0,0)处的连续性．解取当时故函数在(0,0)处连续.例6讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．有关偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解例5解按定义可知：2偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元

4、函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，问题：混合偏导数都相等吗？例8解按定义可知：