【7A文】行列式典型例题

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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】第二讲行列式综合训练第一部分例2.1计算行列式，其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是零．=解这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质．方法1利用性质，将行列式化为上三角行列式．==-方法2仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式．=-方法3利用展开定理，将行列式化成对角行列式．+而==-=-方法4利用公式=．将最后一行逐行换到第2行，共换了次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了次．【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】===-方法5利用公式=．例2.2计算n阶行列式：()解采用升阶（或加边）

2、法．该行列式的各行含有共同的元素，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．=这个题的特殊情形是=可作为公式记下来．例2.3计算阶行列式：其中．解这道题有多种解法．方法1化为上三角行列式【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】其中，于是．方法2升阶（或加边）法方法3递推法．将改写为+由于因此=为递推公式，而，于是==【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】====例２.4设，证明存在使.证因为是关于的二次多项式多项式,在上连续,(0,1)内可导,且,由

3、罗尔定理知,存在,使.例2.5计算=．解这不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式进行求解．方法1借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解：从下向上，逐行操作．（+）其中　　==由于是范德蒙行列式，故==【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】方法2其中，==方法3用升阶法．由于行列式中各列元素缺乏3次幂的元素，在中添加3次幂的一行元素，再添加一列构成5阶范得蒙行列式：=按第5列展开得到的是的4次多项式，且的系数为又利用计算范得蒙行列式的公式得=　　==其中的系数为由的系数相等得：=例2.6设，计算A41+A42+A43+A44=?其中A4j(j=

4、1,2,3,4)是

5、A

6、中元素a4j的代数余子式.解直接求代数余子式的和工作量大．可将改写为，故【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】A41+A42+A43+A44==例2.7求解方程:解方法1=由题设知所以是原方程的解.方法2由题设知,当时,由于行列式中有两列对应元素相同,行列式值为零,因此可写成于是原方程的解为:例2.8计算元素为aij=

7、i－j

8、的n阶行列式.解方法1由题设知，=0，，，故其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第列．【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】方法2=例2.9计

9、算行列式．解方法1按第一列展开：-=-=（-=（-（-方法2本题也可利用拉普拉斯展开定理进行计算，选定第2、3行，有：=（（例2.10计算=，其中未写出的元素都是0．解方法1利用公式=．采用逐行操作，将最后一行逐行和上行进行对换，直到换到第2行（作次相邻对换）；最后一列逐列和上列换，换到第2列（作次相邻对换），得到=【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】======方法2利用行列式展开定理进行求解．+上面第1个行列式是的形式，而第2个行列式按第1列展开，所以====例2.11计算．解方法１采用递推的方法进行求解．+即，，【MeiWei_81重点

10、借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】，故方法2采用降阶的方法进行求解．=例2.12证明D==证方法1递推法按第1列展开，有D=RD+（－1）a=RD+a由于D=R+a，，于是D=RD+a=R（RD+a）+a=RD+aR+a【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】==RD+aR++aR+a=方法2第2列的R倍，第3列的R倍，，第n列的R倍分别加到第1列上===f其中或D==f其中方法3利用性质，将行列式化为上三角行列式．DRk=R(++++a+R)【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】=方法4++++=（－1）

11、（－1）a+（－1）（－1）aR++（－1）（－1）aR+（－1）(a+R)R=例2.13计算n阶“三对角”行列式D=解方法1递推法．DD—D－D即有递推关系式D=D－D(n3)故＝递推得到＝＝＝＝而，＝＝，代入上式得（2.1）由递推公式得＝【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】＝αD＋＝＝＋＋＋＝方法2把D按第1列拆成2个n阶行列式D=＋上式右端第一个行列式等于αD，而第二个行列式=β于是得递推公式，已与（2.1）式相同．方法3在方法1中得递推公式D=D－D又因为当时D=====D=