2012年注册测绘师讲义-地图编制(二)

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1、1.2地图的数学基础1.2.1地图投影1、投影的定义（1）地球表面模型及大地坐标系在讨论投影前，我们首先要了解地球表面模型的建模过程。首先，由于地球的自然表面是起伏不规则，难以用数学描述。为了解决这个问题，我们在测量学里面设想了一个大地水准面。大地水准面是指静止的平均海水平面穿过大陆和岛屿形成的处处与重力方向正交的闭合曲面。但是，由于重力等影响，也是一个不规则曲面。为了建模方便，我们队大地水准面进一步理想化，以大地水准面为基准建立地球椭球体模型，这就是所谓的旋转椭球体。旋转椭球体是由地球的南北短轴为旋转轴旋转而成的椭球体。由于这是个抽象出来的模型，所以，不同的地方，为了更好的拟合

2、地球表面，所采用的地球椭球体可以是不同的，具体反映在地球椭球体的参数上面。地球椭球体的参数一般用两个半径（长半径和短半径）或一个半径加一个扁率。我国常用的椭球体为IUGG/IAG-75椭球体，这是继1952年前所用的海福特椭球体、1953年到1978年使用的克拉索夫斯基椭球体后使用的椭球体，具体参数请参考相关的教材。最后，有了椭球体后，我们就可以进行地理坐标（大地坐标）的定义。地理坐标是由经纬度来表示地面点位置的参考坐标系。经纬度的定义有很多种，包括天文经纬度、大地经纬度和地心经纬度等。其中，地理学里面给出的天文经纬度的定义为：纬度(Latitude)是过P点作椭球面的垂线，该线

3、与赤道面的交角。经度(Longitude)是过P点的子午面与通过英国格林尼治天文台的子午面所夹的二面角。大地经度是指通过参考椭球体面某一点的大地子午面与首子午面的二面角；大地纬度指经过参考椭球体面某一点的法线与赤道面的夹角。地心经度与大地经度相同；地心纬度是指参考椭球体面上任意一点额椭球体中心连线与赤道面的夹角。请大家注意这三种定义方式的异同。还有一个是参考椭球体及地球椭球体定位问题。为了确定大地水闸门与椭球体面见的相对关系，我们需要定义一个参考椭球体。参考椭球体的定义为：在地球表面适当位置选择一点P，令P的铅垂线和椭球面上相应Po点的法线重合，并使Po点的椭球面与大地水准面相切

4、，这里的P点称为大地原点，旋转后的椭球面称为参考椭球体。旋转椭球面和法线是测量和制图所依据的基准面和基准线。确定参考椭球体，进而获得大地测量基准面和大地起算数据的工作，称为参考椭球体定位。我国的大地坐标系包括1954北京坐标系和1980西安坐标系。后者是我们现在主要使用的大地坐标系，其大地原点在陕西省泾阳县永乐镇（西安大地原点）。（2）投影坐标系地理坐标是一种球面坐标，可用于地球表面的精确定位；但是，由于量测单位的不一致，导致相同的角度代表不同的距离。因此，经纬度不具有标准长度单位，直接用地理坐标难以进行距离、面积和方向等参数的计算。为了解决这个问题，我们必须要想办法将二维球面坐

5、标转换为二维平面坐标。投影就是从二维球面坐标转换为二维平面坐标的过程。投影坐标系是定义在平面上的坐标系统。具有在X和Y方向的长度、面积、角度等相同的度量单位。它包括：1）平面极坐标系：用某点至极点的距离和方向来表示该点的位置。(主要用于地图投影理论的研究。)2）平面直角坐标系：采用直角坐标来确定地面平面位置。投影坐标可以有很多种，不同的投影坐标间的转换过程称为投影转换（重新投影），要注意这个概念和投影概念的区别。2、投影变形将地球椭球体面直接展开为平面，必然发生裂缝或重叠，为了消除这些裂缝或重叠，必须要在裂缝地方进行伸展，在重叠的地方进行压缩，这样就使得地图图形产生了变形。简而言

6、之，投影变形原因是由于要将不可展的地球椭球面展开成平面，而且不能有断裂，那么图形在某些地方被拉伸，某些地方被压缩，这样不可避免产生了投影变形。地图投影变形的性质包括以下三个方面：长度(距离)变形：地物长度随不同方向和地点变化，是地面上实际长度按主比例尺缩小后与图上相应长度之差。面积变形：地图上各部分地物面积缩小的比例不同，是地面上实际面积按主比例尺缩小后与图上相应面积之差。角度变形：投影后地图上的两线夹角变形，是投影后平面上任意两方向线夹角与椭球面上相应两方向线夹角之差。3、投影分类投影可以根据不同方法进行划分，如按变形性质划分、按投影构成方式划分等。（1）按变形性质划分按变形性

7、质划分，投影可以分为等角投影、等面积投影及任意投影等。等角投影：投影面上两微分线段的夹角与地面上的相应两线段的夹角相等，即没有角度变形的投影。等积投影：投影面上任一块图形的面积与地面上相应图形的面积保持相等，即没有面积变形的投影。任意投影：既不能满足等角条件，又不能满足等积条件，同时存在长度变形、面积变形和角度变形的投影。但是这种投影角度变形小于等积投影，面积变形小于等角投影。等距离投影是任意投影的一个特例，指在特定方向上无长度变形的投影。（2）按投影构成方式来分A）几何投影：承