《数理统计》考试题及参考答案

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1、《数理统计》考试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1，设总体和相互独立，且都服从正态分布，而和是分别来自和的样本，则服从的分布是_______.解：．2，设与都是总体未知参数的估计，且比有效，则与的期望与方差满足_______.解：．3，“两个总体相等性检验”的方法有_______与_______.解：秩和检验、游程总数检验．4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______.解：正态性、方差齐性、独立性．5，多元线性回归模型中，的最小二乘估计是_______.解：．二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设为来自总体的一个样

2、本，为样本均值，为样本方差，则____D___.（A）；（B）；（C）；（D）.2，若总体，其中已知，当置信度保持不变时，如果样本容量增大，则的置信区间____B___.（A）长度变大；（B）长度变小；（C）长度不变；（D）前述都有可能.3，在假设检验中，分别用，表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量一定时，下列说法中正确的是____C___.（A）减小时也减小；（B）增大时也增大；（C）其中一个减小，另一个会增大；（D）（A）和（B）同时成立.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设为总离差平方和，为误差平方和，为效应平方和，则总有___A__

3、_.（A）；（B）；3（C）；（D）与相互独立.5，在一元回归分析中，判定系数定义为，则___B____.（A）接近0时回归效果显著；（B）接近1时回归效果显著；（C）接近时回归效果显著；（D）前述都不对.三、（本题10分）设总体、，和分别是来自和的样本，且两个样本相互独立，和分别是它们的样本均值和样本方差，证明，其中.证明：易知，．由定理可知，．由独立性和分布的可加性可得．由与得独立性和分布的定义可得．四、（本题10分）已知总体的概率密度函数为其中未知参数,为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．解：（1），用代替，所以3．（2）

4、，所以该估计量是无偏估计．五、（本题10分）设总体的概率密度函数为，其中未知参数，是来自总体的一个样本，试求参数的极大似然估计．解：当时，，令，得．六、（本题10分）设总体的密度函数为未知参数，为总体的一个样本，证明是的一个UMVUE．证明：由指数分布的总体满足正则条件可得，的的无偏估计方差的C-R下界为．另一方面，，即得方差达到C-R下界，故是的UMVUE．七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重,得其样本标准差为公斤,试问：（1）在显著性水平下,可否认为该批苹果重量标准差达到要求?（2）如果调整显著性水

5、平，结果会怎样？3参考数据:,,,．解：（1），则应有：，具体计算得：所以拒绝假设，即认为苹果重量标准差指标未达到要求．（2）新设由则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．八、（本题10分）已知两个总体与独立，，，未知，和分别是来自和的样本，求的置信度为的置信区间.解：设分别表示总体的样本方差，由抽样分布定理可知，，由分布的定义可得．对于置信度，查分布表找和使得，即，所求的置信度为的置信区间为．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．3