高斯随机过程、高斯白噪声和带限白噪声

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1、通信原理电子教案广东海洋大学信息学院2012年9月《通信原理》电子教案授课班级：通信1103班、通信1104班授课教师：广东海洋大学信息学院梁能2.4高斯过程2.4.1基本概念1.定义一随机过程ξ(t)，若它的任意n维概率密度呈正态分布，则称其为高斯过程。又称正态随机过程。数学表达式见式（2.5.1）。一维时：2.性质－－由定义可分析出（1）高斯过程若广义平稳，则必狭义平稳。（2）高斯过程中的随机变量ξ(t1)、ξ(t2)、ξ(t3)、…之间若不相关，则它们也是统计独立的。fn（x1，x2，...，x

2、n；t1，t2，...，tn）＝f1（x1，t1）f2（x2，t2）...，fn（xn，tn）（2.5.3）（3）若干个高斯过程之和仍是高斯过程。－－从信号角度。（4）高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程。－－从系统（线性系统）角度。则称ξ为服从正态分布的随机变量则称ξ为服从正态分布的随机变量2.4.2高斯过程中的一维分布－－随机变量研究1.一维概率密度函数（1）高斯随机变量若随机变量ξ的概率密度函数可表示成（2）性质1）对称于直线x=a;2）在内单调上升，在内单调下降，且在a点处达到极大值;3）4）a

3、表示分布中心，表示集中的程度。一定时，……。5）当a＝0，时，相应的正态分布称为标准化正态分布：2.正态分布函数（1）一般表示式已知概率密度函数的前提下，正态概率分布函数可以表示为：这个积分不易计算，常引入概率积分函数或误差函数（可查表）来表述。（2）用概率积分函数表示定义概率积分函数(简称概率积分)为：则正态分布函数可表示为：（3)用误差函数表示正态分布函数更常表示成与误差函数相联系的形式。1）误差函数定义误差函数：互补误差函数：2）误差函数的性质●误差函数是递增函数，它具有如下性质：●互补误差函数

4、是递减函数，它具有如下性质：2.5窄带随机过程→窄带过程2.5.1窄带随机过程的概念1.什么叫窄带随机过程？频谱:所占频带较窄，满足Δf<

5、t)]＝0－－均值相同(都为0)；（3）δξc2=δξs2=δξ2=δ2－－方差相同，同于ξ(t)；（4）在同一时刻（即τ=0）上得到的ξc及ξs互相关函数为0，即ξc与ξs互不相关，或说统计独立。2.5.3已知ξ(t)的统计特性，求aξ(t)、φξ(t)的统计特性结论2若ξ(t)：均值为0、方差为δ2、窄带平稳高斯随机过程。则：（1）其包络aξ(t)的一维分布呈瑞利分布；（2）其相位φξ(t)的一维分布呈均匀分布；（3）aξ(t)与φξ(t)统计独立。2.6宽带随机过程2.6.1白噪声1.定义：凡功

6、率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，称为白噪声。即：●双边谱密度：●单边谱密度：其中：n0为常数，W/Hz。一般默认白噪声为平稳的。2.自相关函数据：功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对。图2-5白噪声的功率谱密度与自相关函数结论：对白噪声而言，只有当τ=0时（同一时刻）才相关，而在τ≠0的任何两个时刻上的随机变量，皆不相关。问：高斯白噪声？2.6.2带限白噪声1.定义白噪声经理想带通滤波器(-f0，f0)后而形成的噪声，被称为带限白噪声，即其功率谱密度为：2.自相关函数N---噪声平

7、均功率，取决于n0f0--Pξ(ω)的面积。结论：按抽样定理对带限白噪声抽样，各抽样值是互不相关的随机变量(各抽样点处的随机变量是互不相关的)。问：窄带、高斯、白噪声的含义。2.7正弦信号加窄带高斯噪声2.7.1合成信号表达式正弦信号加窄带高斯噪声后的合成信号可表示为：其中：---正弦载波:假定A、ωc为常数;θ为随机变量，其一维pdf均匀分布，即：f(θ)=1/(2π)，0≤θ≤2π---窄带随机过程:nc(t)---n(t)之同相分量；ns(t)---n(t)之正交分量。代入，整理：其中：合成信号

8、振幅z(t)和相位φ(t)的统计特性可以证明，正弦信号加窄带高斯噪声所形成的合成信号具有如下统计特性：1）随机包络服从广义瑞利分布（也称莱斯（Rice）分布）--(2.7-3)。2）随机相位分布与信道中的信噪比有关，不再是均匀分布了。当信噪比很小时，它接近于均匀分布。图2-6正弦信号加窄带高斯噪声的包络和相位分布2.8随机过程通过线性系统2.8.1线性系统---复习设：线性系统的冲击响应和网络函数分别为：h(t)、H(ω)，则：H(ω)←→h(t)。周知