习题课-向量组的线性相关性

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1、分量全为实数的向量称为实向量．分量全为复数的向量称为复向量．１　向量的定义定义向量的相等零向量分量全为0的向量称为零向量．负向量向量加法２　向量的线性运算数乘向量向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算，满足下列八条运算规则：除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组．定义３　线性组合定义４　线性表示定理定义定义５　线性相关定理定理定义６　向量组的秩等价的向量组的秩相等．定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩．定理设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩．推论１

2、推论２推论３（最大无关组的等价定义）设向量组　是向量组　的部分组，若向量组线性无关，且向量组　能由向量组　线性表示，则向量组　是向量组　的一个最大无关组．７　向量空间定义设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．定义８　子空间定义９　基与维数向量方程１０　齐次线性方程组解向量解向量的性质性质１性质２定义定理定义向量方程１１　非齐次线性方程组解向量的性质性质１性质２解向量向量方程　的解就是方程组的解向量．（１）求齐次线性方程组的基础解系１２　线性方程组的解法第一步：对系数矩阵　进行初等行变换，使其变成行

3、最简形矩阵第三步：将其余　个分量依次组成阶单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系（２）求非齐次线性方程组的特解将上述矩阵中最后一列的前个分量依次作为特解的第个分量，其余个分量全部取零，于是得即为所求非齐次线性方程组的一个特解．一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩三、向量空间的判定四、基础解系的证法五、解向量的证法典　型　例　题一、向量组线性关系的判定研究这类问题一般有两个方法方法1　从定义出发整理得线性方程组方法２　利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定例１研究下列向量组的线性相关性解一整理得到解二分析证明证明向量组的一个部分组构成最大线性

4、无关组的基本方法就是：分析根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系．证明求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量所排成的．如果向量组的向量以列（行）向量的形式给出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩，而且可以求出最大线性无关组．二、求向量组的秩若矩阵经过初等行（列）变换化为矩阵，则和中任何对应的列（行）向量组都有相同的线性相关性．解判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合是否对于加法和数乘两种运算封闭．若封闭，则构成向量空间；否则，不构成向量空间．

5、解三、向量空间的判定例６证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系．四、基础解系的证法分析(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示．(1)该组向量都是方程组的解；(2)该组向量线性无关；要证明某一向量组是方程组　　　的基础解系，需要证明三个结论:证明注当线性方程组有非零解时，基础解系的取法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的．五、解向量的证法证明注意(1)本例是对非齐次线性方程组　　　　的解的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方程组一定存在着　　　　个线性无关的解，题中(2)的证明表明了它的存在性．(3)对非齐次线性方程组，有时也把如题

6、中所给的　　　　个解称为　　　　的基础解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合系数之和为1时，才是方程组的解．(2)对齐次线性方程组，当　　　　　　时，有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性表示．第四章　　测试题一、填空题(每小题5分，共40分)．二、计算题(每小题8分，共24分)．三、证明题(每小题8分，共24分)．四、向量组线性无关,问常数满足什么条件时,向量组线性无关．(12分)测试题答案