经典控制理论——第八章

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1、第八章非线性控制系统分析8-１非线性系统概述8-２　常见非线性环节及其对系统运动的影响8-３　相平面法8-４　描述函数法本章主要内容非线性系统的基本概念、常见的几种非线性环节的特点及其对系统的影响，如何利用描述函数法对非线性系统进行分析，同时简要介绍了相平面法以及改善非线性系统性能的措施及非线性特性的利用。本章重点正确理解非线性系统与线性系统的差异，掌握利用描述函数法对非线性系统进行分析。第一节非线性控制系统概述控制系统在不同程度上都存在着非线性。有些系统可通过在工作点附近线性化来处理，但当系统包含有本质非线性特性时，就不能用线性化的方法处理。非线性系

2、统与线性系统有本质的差别，非线性系统不满足叠加原理，它的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件与输入信号有关。第一节非线性控制系统概述非本质非线性能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。本质非线性用小偏差线性化方法不能解决的非线性。非线性系统的瞬态响应有一种特殊运动—自持振荡，它是一种稳定的周期运动，振荡频率和幅值由系统结构和参数确定。非线性系统的分析方法有相平面法和描述函数法，相平面法是一种图解分析法，描述函数法是一种近似分析法。几种典型的非线性特性非线性系统的特点稳定性分析复杂可能存在自激振荡现象频率响应发生畸变第二节

3、常见非线性特性及其对系统运动的影响常见的非线性元件及特性饱和特性可以说，任何实际装置都存在饱和特性，因为它们的输出不可能无限增大，磁饱和就是一种饱和特性。饱和特性的影响使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有利。使系统的快速性和稳态跟踪精度下降死区（不灵敏区）特性死区特性常常是由放大器、传感器、执行机构的不灵敏区造成的。死区（不灵敏区）特性的影响增大了系统的稳态误差，降低了定位精度。减小了系统的开环增益，提高了系统的平稳性，减弱动态响应的振荡倾向。回环（间隙）特性传动机构的间隙也是控制系统中常见的非线性特性，齿轮传动是典型的间隙特性回环（间隙）特性的影

4、响降低了定位精度，增大了系统的静差。使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。继电器特性当然，不限于继电器，其它装置如果具有类似的非线性特性，我们也称之为继电特性，比如：电磁阀、斯密特触发器等。继电器特性的影响理想继电控制系统最终多半处于自振工作状态。可利用继电控制实现快速跟踪。带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对其他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特性的综合效果。相平面法是庞加莱（Poincare）1885年首先提出的，本来它是一种求解二元一阶非线性微分方程组的图解法,两个变量构成的直角坐标系称为相平面，方程组的解在相平面上的图象称为相轨迹

5、。这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性控制系统，并形成了一种特定的相平面法，它对弄清非线性系统的稳定性、稳定域等基本属性,解释极限环等特殊现象，起到了直观形象的作用。第三节相平面法因为绘制两维以上的相轨迹是十分困难的，所以相平面法对于二阶以上的系统几乎无能为力，但是，如果我们将相平面概念推广到到抽象空间，就得到ｎ维‘状态空间’——以后再专门介绍。下面讨论相平面和相轨迹的基本概念。考察二阶非线性时不变微分方程:1相平面的基本概念为了引入相平面法，将二阶微分方程改写成二元一阶微分方程组:微分方程组(8-2)有两个变量:x——可以看作广义位移，——可

6、以看作广义速度。一般，直接对微分方程（8-1）求解，可以得到该系统的时间解x(t),还可以作出x(t)与t的关系图——时间响应曲线。如果我们对微分方程组(8-2)求解，可以得到解x(t)和,如果我们取x和为坐标，以时间t为参变量,则系统的每一时刻的状态均对应于该平面上的一点，当t变化时，这一点在平面上绘出的曲线，表征了系统的运动过程，这个曲线就是相轨迹。我们用一个二阶线性时不变系统来体验一下相平面和相轨迹。例8-1考虑二阶系统：将它写成微分方程组：两式相除得到：即：两边积分得:在相平面上绘出的相轨迹如图8-1(a)所示椭圆，如果取遍所有的初始值，就会得

7、到无数一环套一环的椭圆——称为相轨迹场，相轨迹场布满了整个相平面，相轨迹场从全局上展示了动态系统的运动过程，图（a）只绘出了相轨迹场中的2根相轨迹。当xo=0时，响应曲线如图（b）。图8-1例8-1的相轨迹与时间响应2相轨迹图绘制相轨迹图有多种办法，概括起来有如下几类：第一类：手工绘制概略图。概略图就象相轨迹的‘素描’，它是根据相轨迹的基本特征、特殊点、特殊线等信息而‘随手’画出的草图，它虽然在具体细节上缺乏精度，但却能提供许多重要的定性结论。第二类：手工图解绘制近似图。在计算机未得到广泛应用的年代，人们研究出好几种手工近似作图法，如等倾线法、δ法等。

8、这些手工作图法要绘出有一定精度的相轨迹图是十分繁琐的，如今已没有多大实用价值。第三类：计算机绘