专题22 正弦定理和余弦定理-2016年高考数学（文）一轮复习精品资料（原卷版）

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1、【考情解读】1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；【重点知识梳理】1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝b2＋c22bccos__A；b2＝c2＋a22cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin_C；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝

2、csinAcosA＝；cosB＝；cosC＝2.S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.【高频考点突破】考点一利用正、余弦定理解三角形例1、(1)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　)A.　　　　　　B.C.D.(2)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．7汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！【提分秘籍】[来源:Zxxk.Com]利用正、余弦定理解三角形的关键是

3、合理地选择正弦或余弦定理进行边角互化，解题过程中注意隐含条件的挖掘以确定解的个数．【变式探究】在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足asin＝c.(1)求角A的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，求sinBsinC的取值范围．考点二三角形形状的判断例2、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(　　)A．锐角三角形　　　　　　B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【提分秘籍】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为

4、边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；[来源:学科网ZXXK](2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．注意：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．【变式探究】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.(1)求角A的大小；(2)若sinB·sinC＝sin2A，试判断△ABC的形状．考点三三角形的面积问题例3、在△ABC中，角A，B，C对

5、应的边分别是a，b，c.已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sinBsinC的值．【方法技巧】7汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！三角形的面积求法最常用的是利用公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA去求．计算时注意整体运算及正、余弦定理的应用．【变式探究】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2＋ccos2＝b.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若∠B＝60°，b＝4，求△ABC的面积．考点四解三角形例4、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，

6、c，且2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－.(1)求cosA的值；(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．【提分秘籍】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题、多以解答题形式出现．【真题感悟】【2015高考广东，文5】设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（）A．B．C．D．【2015高考福建，文14】若中，，，，则_______．【2015高考重庆，文13】设的内角A，B，C的对边分别为,且,

7、则c=________.【2015高考安徽，文12】在中，，，，则.【2015高考北京，文11】在中，，，，则．7汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！【2015高考山东，文17】中，角所对的边分别为.已知求和的值.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,（I）求a和sinC的值;（II）求的值.【2015高考新课标1，文17】（本小题满分12分）已知分别是内角的对边，.（I）若，求（II）若，且求的面积.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC中,内角A,B

8、,C所对的