板材生产成本控制问题简介

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1、''板材成本控制问题【摘要】本文解决了板材成本控制问题即如何下料，并建立初等模型来进行求解，并用线性规划的方法计算最大用材数与长宽比的关系。确定切割成的用材数最大以及最大数与板材长宽比的关系。根据四个问题建立不等式，运用分类讨论，线性规划等方法综合求解，最终结果通过LINGO软件运行，并给出结果表达式。关于确定最大用材数与长宽比的关系，题设的要求是，即要求原板材的面积与每个用材的面积的比值在16和25范围之内。依据此要求，我们在四个问题中分情况讨论可能的下料方式。除了第一个问题讨论一种情况，其余

2、问题分别各讨论三种下料方式，根据其中各个变量的关系来确定最大用材数与长宽比的关系。问题一：正方形，按照最规则的顺序排列，依据正方形的边长与原矩形长宽的关系来确定最大用材数和长宽比的表达式。问题二：圆形，分为四种下料方式，一是整齐排列，即将每个圆看成是一个正方形，简化了问题；二是错位排列，使圆形相互错开紧密排列即下一排的圆在上一排两个圆之间，这种方法材料利用率比第一种高；第三种是将第一二种结合，即既有整齐排列也有相互错开紧密排列；第四种为不规则排列，用料较多舍弃。根据每个情况中圆半径原板材长宽之间

3、的关系来确定最大用材数和长宽比的表达式。问题三：长宽比为2的矩形，也分为三种下料方式，一是把两个长方形当成是一个正方形来处理；二是几行长方形横着排列，几行长方形竖着排列也可以把两个长方形当成是正方形来处理（其结果相同），分为许多种小情况；第三种为不规则排列，用料浪费所以舍弃。根据每个情况中各个变量之间的关系来确定最大用材数和长宽比的表达式。问题四：长宽比为的矩形，分为四种下料方式分析。第一种是长方形横排，第二种是长方形竖排，而第三种是第一二种的结合，第四种不规则排列浪费所以舍弃。根据各个关系来确

4、定最大用材数和长宽比的表达式。关键词：板材成本控制、初等模型、线性规划、分类比较''目录1问题重述12问题分析12.1总体分析12.2问题一的分析12.3问题二的分析12.4问题三的分析12.5问题四的分析23符号说明24模型假设35模型建立35.2问题二模型的建立45.3问题三模型的建立85.4问题四模型的建立116模型求解及结果分析146.1问题一的模型求解及结果分析146.1.1问题一的模型求解146.1.2问题一的结果分析166.2问题二的模型求解及结果分析166.2.1问题二的模型求解

5、166.2.2问题二的结果分析226.3问题三的模型求解及结果分析226.3.1问题三的模型求解226.3.2问题三的结果分析246.4问题四的模型求解及结果分析246.4.1问题四的模型求解246.4.2问题四的结果分析297模型的优缺点分析297.1模型优点297.2模型缺点298改进方向299参考文献29''1问题重述板材下料成本控制问题是经典的优化问题。考虑一块面积为A，长宽比为的板材。现在需要切割成面积为B的用材。，不妨假设为整数。请根据下列需求，建立实际问题的数学建模，确定最大的用材

6、数与的关系。（1）用材为正方形，。（2）用材为圆形，。并给出可能的不同下料方式。（3）用材为矩形，长宽比为2，。并给出可能的不同下料方式。（4）用材为矩形，长宽比为，，。并给出可能的不同下料方式。2问题分析2.1总体分析这四个问题有个共同的特点：都是求解如何下料使得切割的用材数最大以及最大用材数和板材长宽比的关系。不同点就是同一种下料方式不一定都适用于这四种情况。2.2问题一的分析就第一个问题而言，相对于其他三个较为简单。下料方式就是使正方形整齐排列来切割板材使得得到的用材数最大。其他的下料方式

7、（例如斜着切割）会导致板材浪费较多。2.3问题二的分析就问题二来说，可分为四大种情况来考虑。第一种是让圆形整齐排列，关键在于把每个圆形当成一个正方形来处理，简化了问题。第二种是使圆形相互错开紧密排列即下一排的圆在上一排两个圆之间，关键在于找出板材长与宽分别与能放的圆的个数的关系，然后根据这关系来解决问题。第三种是前两种情况的结合，即既有整齐排列也有相互错开紧密排列，这种情况包括了很多种小情况，比如先整齐排列后是间隔排列，或者整齐排列与间隔排列相互交错，针对每一种情况都有不同的解题方式。第四种情况

8、就是不规则排列，由于这种下料方式会导致板材浪费较多所以舍弃。2.4问题三的分析''就问题三来说，可分为四种情况来考虑。第一种是把长方形全部横放来处理，关键是先使长方形整齐排列在判断剩余边角料部分能否放进去一个长方形其中两个上下紧挨着的长方形可以看做是两个长方形竖着紧挨着摆放。第二种情况是把长方形竖着摆放，关键是先使长方形整齐排列在判断剩余边角料部分能否放进去一个长方形，其中两个左右紧挨着的长方形可以看做是两个横着上下紧挨着的长方形摆放。第三种情况是几行长方形横着排列，几行长方形竖着排列也可是把两