科学史纲要第10讲近代科学革命牛顿

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1、第九讲近代科学革命—牛顿微积分微积分是微分和积分的合称。微分：求变化率（斜率、瞬时速度）积分：求积（曲线长、面积、体积）跟乘法和除法一样，微分和积分两之间互为反运算。所以合起来一起研究，称之为微积分而微积分的问题，尤其求积分的问题，自古希腊以来就一直吸引着数学家们的兴趣积分：阿基米德求圆周率（穷尽法）由圆的内接正六边形出发，先算其周长，做为圆周长的一个近似值，然后再由此周长计算内接正十二边形的周长，作为圆周长更精确的近似值，如此边数逐次倍增，则所得周长仍小于圆周长，却越来越接近圆周长同时阿基米德用外切正多边形从外面逼近

2、圆周长一般而言，如果正n边形和正2n边形Sn和S2n之间有代数关系，只要知道Sn，则可知S2n当内接及外切正多边形的边数为96时，阿基米德得到了他的圆周估计值17世纪新问题已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；或者反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数，求物体在任意时刻的速度，或已知物体速度表示为时间的函数，求物体在任意时刻的移动距离．注意，上述问题如果对于匀速直线运动来考虑，当时的数学工具已可以解决，但当时天文学、力学等涉及许多非匀速运动，大多数也不是直线运动，所以要求新的数学工

3、具．已知曲线求其切线．这不仅是几何学的问题，而且也是许多其他科学问题的要求：物体作曲线运动时，在每一瞬间的速度方向是该曲线相应的点的切线的方向；在光学中对光的折射和反射的研究要求出界面的法线方向，法线方向是由切线方向决定的．已知函数求函数的极大值和极小值．这与天文学和力学都有关，例如求行星运行的近日点和远日点，抛射体的最大射程和最大高度等问题都可归结为这种类型的问题．求曲线的长度．这是以计算行星或曲线运动的物体走过的路程为背景的；求曲线围成的面积，以计算行星扫过的面积（见前开普勒定律的计算）为代表；求物体的重心、求两个

4、天体之间的引力等问题．穷尽法动态无穷法卡瓦列利：不可分量原理（无穷小）设三角形ABC与三角形DEF等底等高，设B'C'、E'F'分别是平行于BC、EF的线段。且距底边等高，则由比例可知：B'C'=E'F'注意到B'C'、E'F'是任意的，其长度一直由BC和EF一直逼近到点A和点D。既然三角形ABC三角形DEF分别由相等的线段B'C'、E'F'所组成，所以两三角形应该有同样的面积卡瓦列利：不可分量原理（无穷小）如果两个平面图形夹在同一对平行线之间，并且被任何与这两条平行线保持等距的直线截得的线段都相等，则这两个图形的面积

5、相等。类似的，如果两个立体图形处于于对平行平面之间，并且被任何与这两个平行平面保持等距的平面截得的面积都相等，则这两个立体的体积相等以椭圆的短轴为半径做圆，做任一直线平行于长轴而得到椭圆的截线LL'及圆的截线MM‘，由坐标的计算可知LL'与MM'比值固定，所以由卡瓦列利原理可知瞬时速度瞬间速度就是瞬间的平均速度。但是瞬间到底是多短呢？如果瞬间没有长度，则在这瞬间内距离没有什么变化，所以不是数，自然不能表示速度，所以此路不通。但是如果瞬间一定要有长度，但所谓的长度如果是通常观念中的长度，那么它的一半不也是长度吗？那么瞬间

6、怎么还能称作瞬间呢？此路也不通。那么瞬间是到底是什么呢？有人想出绝招说：“瞬间的长度为无穷小”微积分基本定理动态无穷法虽然使得求积进了一大步，可是繁复的步骤已经求和、求极限的困难，都限制了它的应用范围。无穷小的方法虽然好使，但是用起来又太灵活了，基本无固定的规则可言，数学家使用的时候，什么时候保留，什么时候削去，基本是靠直觉“猜”出来的。而微积分基本定理的发现，就是说求积是求变化率的反运算，所以会求变化率就能解决很多求积的问题，而微分学有系统的发展后，求变化率的计算就变成远较求积简单的一种运算。牛顿的贡献假设某曲线y=

7、f(x)下的面积为z，z和x的关系为z=axm，如果x增加了一点，这个可以用无穷小量o来表示，则面积增加了oy，（由此亦易知，y值刚好就是面积在增加了这么一点的时候的变化率，y＝Δz/Δx），于是有z+oy=a(x+o)m。右边以二项级数展开得z+oy=a(xm+mxm-1o+含有o2的项)消去z=axm，再去掉o，则得y=a(mxm-1+含有o的项)再去掉含有o的项，得y=amxm-1面积z在任意点x的变化率，正是曲线在x处的y值（amxm-1）而曲线y=amxm-1下的面积是axmoy＝Δz/Δx牛顿提出的这种思想

8、有两个新的内容．通过考虑在x点处的面积的瞬时增量得出面积的表达式，而不采取过去的那种用无限小面积之和来求面积的表达式的方法．也就是说，牛顿把确定变化率作为基本的步骤，换言之，以导数作为基本概念来定义积分．他证明了过去被看成无限小面积之和的面积能够通过一点的变化率由微分（求导数）的逆过程得到，这一事实就是我们现在所说的微积分基本定理