马尔可夫链概率论与数理统计

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1、第一节马尔可夫过程及其概率分布第二节多步转移概率的确定第十三章马尔可夫链第三节遍历性第一节马尔可夫过程及其概率分布一、马尔可夫过程的概念二、马尔可夫过程的概率分布三、应用举例四、小结一、马尔可夫过程的概念1.马尔可夫性(无后效性)马尔可夫性或无后效性.即:过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的.2.马尔可夫过程的定义具有马尔可夫性的随机过程称为马尔可夫过程.用分布函数表述马尔可夫过程恰有或写成并称此过程为马尔可夫过程.3.马尔可夫链的定义时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链,简记为研究时间和状态都是离散的随机序列二、马尔可夫过程的概率分布1.用分布律描述马尔可夫性有称条

2、件概率说明:转移概率具有特点2.转移概率由转移概率组成的矩阵称为马氏链的转移概率矩阵.此矩阵的每一行元素之和等于1.它是随机矩阵.3.平稳性有关时,称转移概率具有平稳性.同时也称此链是齐次的或时齐的.称为马氏链的n步转移概率一步转移概率特别的,当n=1时,一步转移概率矩阵的状态记为P设每一级的传真率为p,误码率为q=1-p.设一个单位时间传输一级,只传输数字0和1的串联系统(传输系统)如图:分析:例1三、应用举例而与时刻n以前所处的状态无关.所以它是一个马氏链,且是齐次的.一步转移概率一步转移概率矩阵例2一维随机游动游动的概率规则1/3的概率向左或向右移动一格,或以1/3的概率留在原

3、处;如果Q现在位于点i(1

4、分钟观察一次计算机运行状态,收集了24小时的数据(共作97次观察).用1表示正常状态,用0表示不正常状态,所得的数据序列如下:1110010011111110011110111111001111111110001101101分析状态空间:I={0,1}.例311101101101011110111011110111111001101111110011196次状态转移的情况:因此,一步转移概率可用频率近似地表示为:某电话亭有两部电话，顾客的到达与离开都是随机的，每隔一分钟来一个顾客的概率为q，有一个顾客打完电话离开的概率为p。而且如果顾客到达时发现前面已经有一个顾客在等待，该顾客即离去

5、，并且排除每分钟内多于1人到达或离开的情况。用马氏链来描述这个系统。例4设Xn表示第n分钟电话亭里的顾客数，即系统的状态。{Xn,n=0,1,2,3…}是一个随机过程，状态空间为I={0,1,2,3}.仿真前面例子的分析，可知它是一个齐次马氏链。分析该马氏链的一步转移概率：p00p01p10p11p12p13p21p32p22p23p33四、小结齐次马氏链、平稳性的概念.一步转移概率矩阵的计算.一步转移概率一步转移概率矩阵第二节多步转移概率的确定一、C-K方程二、多步转移概率的确定一、C-K方程是一齐次马氏链,则对任意的切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(简称C-K方程)说明C-K方程基于下列

6、事实:这一事件可分解成:件的和事件.如下图所示:证明由条件概率定义和乘法定理得(马氏性和齐次性)所以考虑到马氏性和齐次性,即得C-K方程.C-K方程也可写成矩阵形式:二、多步转移概率的确定利用C-K方程我们容易确定n步转移概率.得递推关系:从而可得马氏链的n步转移概率是一步转移概率的n次方.结论解例1例2甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p，乙胜的概率为q，平局的概率为r。（p+r+q）=1。设每局比赛后，胜者得1分，负者得－1分，平局不记分。当两人中有一个人得到2分时比赛结束。以Xn表示第n局比赛甲的分数，为齐次马尔可夫链解概率为第三节遍历性一、遍历性的概念三、应用举例

7、二、(有限链)遍历性的充分条件一、遍历性的概念对于一般的两个状态的马氏链,由上例题内容可知,意义对固定的状态j,不管链在某一时刻的什么状态i出发,通过长时间的转移到达状态j的概率都趋定义则称此链具有遍历性.二、(有限链)遍历性的充分条件试说明带有两个反射壁的随机游动是遍历的,并求其极限分布(平稳分布).解例1三、应用举例无零元,链是遍历的代入最后一个方程(归一条件),得唯一解所以极限分布为这个分布表明经过长时间游动之后,质点Q位于点2(或3或4)的概率约为