《黎曼积分概念》PPT课件

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1、第二章多元函数积分学正确理解黎曼积分的概念和性质。正确理解二、三重积分的概念。正确理解对弧长的曲线积分的概念。正确理解对面积的曲面积分的概念。本节教学要求：第六节黎曼积分的概念重积分对弧长的曲线积分对面积的曲面积分曲顶柱体本节关键概念和理论第六节黎曼积分的概念的黎曼积分空间中与分割-近似-求和-取极限有关的一类数学模型非均匀分布时“直线段”质量问题定积分非均匀分布时平面薄板质量问题直角坐标系二重积分非均匀分布时“立体”质量问题直角坐标系三重积分非均匀分布时“曲线段”质量问题对弧长的曲线积分L为封闭

2、曲线平面曲线非均匀分布时“曲线段”质量问题对弧长的曲线积分为封闭曲线空间曲线非均匀分布时“曲面”质量问题对面积的曲面积分∑为封闭曲面以上讨论的几个问题的共同点：对自变量的取值范围作任意分割.形式相同的和式：(函数在某点的值)×(小几何体的度量值)形式相同的极限：{分割后小几何体的度量值}具有任意性看成均匀变化时，所求量可表示为两个量的乘积.所求量对区域具有可加性.设为空间中可度量的几何形体,是定义在上的有界函数,将任意分割为m个可度量的小几何形体它们的度量值记为记作和式称此和式为函数在上的黎曼和。若极限

3、存在,且与对的分割方式及点的选择方式无关,则称此极限黎曼积分的定义此时称函数在上是黎曼可积的,记为值I为函数在上的黎曼积分,记为其中,——积分号；——被积函数；——积分区域；——积分元素。什么样的函数可积(黎曼可积)根据黎曼积分的定义可以得出：若则若在内有界,且在除去中有限个低于所在空间维数的几何形体外连续,则设为R3中的可度量的几何形体，则黎曼积分应具有一些极限所具有的性质这就是说，黎曼积分的性质性质1若则其中，为区域的度量值。回想上节课讲的质量计算以及在均匀变化时质量=密度×几何形体的度量值就可以理

4、解这个性质。定积分(区间[a,b]的长度)二重积分(平面区域D的面积)(R3中立体的体积)三重积分曲线积分(平面曲线L的弧长)曲面积分(曲面∑的面积)例二重积分：相当于以D为底，高为1的平顶柱体体积V=

5、D

6、。(线性性质)若为实数，则且该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形性质2设将任意分成可度量的两个部分：与除边界外无其它公共部分，则且性质3(对积分区域的可加性)想一想：行！行！行！可以将性质3中的任意分成有限个相互间只有公共边界的部分：(保号性)性质4性质4的推论1设则若性质4的推论2(积分中

7、值定理)若是有界闭区域，则至少存在一点使得现在看这里如果会有什么结果出现？性质5性质5的推论1若是有界闭区域，且有但/则你能根据刚才的分析证明这个推论吗？现在由这个推论反过去想:如果函数在的任意一个小区域上的积分均为零，则函数在上应是什么形式？啊！性质6的推论2设若有则运用反证法：设/则至少有一点X0，使由推论1便可得出矛盾。实践出真知课后自己做性质6的推论2设若有则运用反证法：设/则至少有一点X0，使由推论1便可得出矛盾。实践出真知课后自己做什么结果？性质6的推论3设若有则