点直线平面的图解

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1、图解问题的类型§5.4点、直线、平面的图解方法一、定位问题●从属问题：1)直线上的点2)平面上的点、直线●相交问题：1)两直线相交（交叉）2)直线与平面相交3)两平面相交二、度量问题●距离：1)直线的真长2)图形的真形3)点到直线的距离4)两直线的距离5)直线与平面、两平面的距离解题方法●角度：1）平行2）夹角：直线、平面的倾角；直线、平面相互间的夹角3）垂直：直线、平面相互垂直三、解题思路●利用特殊位置几何元素的投影特征●利用适当的辅助平面●利用特殊直角的投影特征●利用几何元素投影的基本特征二、度量问题（续）[例]求点A到正平

2、线BC的距离。a’b’c’a”b”c”点到直线的距离●点到直线的距离[例]求点A到铅垂线BC的距离。aa’b’bcc’dd’d’d”ΔyΔyaa’bcb’c’点到直线的距离(续)●点到直线的距离（续）e’eff’1’2’12dd’ΔzΔzA0[例]求点A到直线BC的距离。[作图步骤]1)过A点作垂直于BC的平面AEF;2)作BC于平面AEF的交点D;3)由于AD在平面AEF上，且BC垂直于AEF，故AD是与BC垂直相交的线段，即AD为点A到BC的距离。4)作AD的真长。点到平面的距离[例]求点A到平面BCD的距离。aa’bcdb

3、’c’d’[例]求点A到正垂面BCDE的距离。aa’bcdeb’c’d’e’●点到平面的距离kk’1’122’ee’33’44’kk’ΔzΔzA0[例]求两平行直线的距离。l1’l2’l1l2[例]求两平行直线的距离。aa’cc’bb’dd’两条平行直线的距离●两条平行直线的距离ee’ff’E0ΔyΔyd’bb’cc’1’d2’ΔzΔzA012aa’[例]求直线L1与L2的距离。e2e’2’l1’l2’l1l2[原理图]过直线L1任意点E作平面P∥L2;在L2上任取一点A，作AB⊥P，与P交于B；过B在P内作BC∥L2，与L1交

4、于C点，作CD∥AB，与L2交于D，则CD即为两条直线间的距离。P交叉直线的距离●交叉直线的距离AEL1L2CDBaa’11’3’355’44’ΔzΔzD077’66’bb’cdc’d’abd’cdc’a’b’e’e两条相交直线的夹角●两条相交直线的夹角E0F0ΔzD0ff’ΔzΔz[例]作相交直线AB、CD的夹角。[作图分析]1)由于AB、CD为相交直线，因此两直线构成一平面。2)作出该平面的真形，交点处的锐角即为两直线的夹角。3)设交点为E，过D作水平线，与AB交于F点，则△DEF为相交直线平面上的一个三角形。4)作△DEF

5、的真形，则顶点E0处的夹角即为AB、CD的夹角。αgag’a’d’defe’f’[原理]直线与其在平面上的正投影的夹角θ为直线与平面的夹角。因此过直线上一点作平面的垂线，该垂线与直线构成一个平面如图所示，该平面同已知平面的交线与已知直线、垂线构成三角形，两锐角θ、δ互余，作出δ，即可表示θ。P直线与平面的夹角●直线与平面的夹角aABθδθ11’3’32’2cbc’b’ΔzΔzΔzδA0C0B0[原理]过空间任意点A，分别作P1、P2的垂线AB、AC,则AB、AC构成的平面ABDC与P1、P2都垂直，交线BD、CD的夹角为P1、P

6、2的夹角α。由图示可知AB、AC的夹角δ与α互为补角,因此作出δ即可表示α。defd’e’f’i’ijj’kk’P1P2两平面的夹角●两平面的夹角αδαBCDAa’al1’l2’l1l2bcb’c’121’2’33’44’PHl1’l1PBL1图解空间几何问题（1）●图解空间几何问题（1）NL2[例]入射光线L1经铅垂镜面P反射，补全反射光线L2的投影。[分析]L1经P面上的点B反射为L2，过B作平面P的法线BN，则BN在L1、L2构成的光平面内，且平分L1、L2的夹角。δδaa’b’bn’nδδc’l2’cl2b’baa’c’

7、图解空间几何问题（2）●图解空间几何问题（2）[例]已知矩形ABCD的部分投影，补全ABCD的两面投影。[分析]矩形的邻边相互垂直，对边相互平行；两相邻的边中，一条边必然在邻边的垂直面上。根据已知投影，过B点作AB的垂直面，则BC为该垂直面上的一条直线。确定矩形的两条邻边的投影，即可确定ABCD的投影。d’dc1’12’23’3bb’cc’efe’f’图解空间几何问题（3）●图解空间几何问题（3）[例]已知一等腰三角形的底边的投影，顶点A在直线EF上，补全等腰三角形的两面投影。[分析]等腰三角形底边上的高垂直平分底边，因此三角形

8、的底边上的高必然在过底边中点与底边垂直的平面上，又由于顶点在已知直线上，故已知直线与垂直面的交点即为三角形的顶点。[作图]1)作底边的中点2)过中点作底边的垂直面;3)作已知直线与垂直面的交点；4)连接交点，得到两面投影。12341’2’3’4’aa’dd’[例