《连续性方程》PPT课件(I)

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1、实质：质量守恒1.连续性方程的微分形式oyxzdmxdmx’dxdydzdt时间内x方向：流入质量流出质量净流出质量连续性方程同理：dt时间内，控制体总净流出质量：由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于密度变化而减少的质量，即——连续性方程的微分形式不可压缩流体即例：已知速度场此流动是否可能出现？解：由连续性方程：满足连续性方程，此流动可能出现例：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处uz=0，求uz。解：由得积分由z=0，uz=0得c=02.连续性方程的积分形式A1A212v1v2在dt时间内，流入断面1的流体质量必等于流出断面

2、2的流体质量，则——连续性方程的积分形式不可压缩流体分流时合流时刚体——平移、旋转流体——平移、旋转、变形（线变形、角变形）平移线变形旋转角变形流体微元的运动分析流体微元的速度：1.平移速度：ux，uy，uz2.线变形速度：x方向线变形是单位时间微团沿x方向相对线变形量（线变形速度）同理存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因3.旋转角速度：角平分线的旋转角速度逆时针方向的转角为正顺时针方向的转角为负是微团绕平行于oz轴的旋转角速度同理微团的旋转：4.角变形速度：直角边与角平分线夹角的变化速度微团的角变形：存在不在质点连线方向的速度梯度是产生旋转和角变形的原因

3、是微团在xoy平面上的角变形速度同理例：平面流场ux=ky，uy=0（k为大于0的常数），分析流场运动特征解：流线方程：线变形：角变形：旋转角速度：xyo（流线是平行与x轴的直线族）（无线变形）（有角变形）（顺时针方向为负）例：平面流场ux=－ky，uy=kx（k为大于0的常数），分析流场运动特征解：流线方程：（流线是同心圆族）线变形：（无线变形）角变形：（无角变形）旋转角速度：（逆时针的旋转）刚体旋转流动1.有旋流动2.无旋流动即：有旋流动和无旋流动例：速度场ux=ay（a为常数），uy=0，流线是平行于x轴的直线，此流动是有旋流动还是无旋流动？解：是有旋流xyou

4、x相当于微元绕瞬心运动无旋　　　　　有势1.速度势函数类比：重力场、静电场——作功与路径无关→势能无旋条件：由全微分理论，无旋条件是某空间位置函数φ(x,y,z)存在的充要条件函数φ称为速度势函数，无旋流动必然是有势流动速度势函数由函数φ的全微分：得：（φ的梯度）2.拉普拉斯方程由不可压缩流体的连续性方程将　　　　　　　　　　　　　　代入得即——拉普拉斯方程为拉普拉斯算子，φ称为调和函数——不可压缩流体无旋流动的连续性方程注意：只有无旋流动才有速度势函数，它满足拉普拉斯方程3.极坐标形式（二维）不可压缩平面流场满足连续性方程：即：由全微分理论，此条件是某位置函数ψ（x

5、，y）存在的充要条件函数ψ称为流函数有旋、无旋流动都有流函数流　函　数由函数ψ的全微分：得：流函数的主要性质：（1）流函数的等值线是流线；证明：——流线方程（2）两条流线间通过的流量等于两流函数之差；证明：（4）只有无旋流的流函数满足拉普拉斯方程证明：则：将代入也是调和函数得：在无旋流动中例：不可压缩流体，ux=x2－y2，uy=－2xy，是否满足连续性方程？是否无旋流？有无速度势函数？是否是调和函数？并写出流函数。解：（1）满足连续性方程（2）是无旋流（3）无旋流存在势函数：取（x0，y0）为（0，0）（4）满足拉普拉斯方程，　是调和函数（5）流函数取（x0，y0）

6、为（0，0）1.均匀平行流速度场　　　　　　　　　　（a,b为常数）速度势函数等势线流函数流线uxyoφ1ψ1φ2φ3ψ2ψ3几种简单的平面势流当流动方向平行于x轴当流动方向平行于y轴如用极坐标表示：φ1ψ1φ2ψ2φ1ψ1φ2ψ2（2）汇流流量φ1ψ1φ2ψ2oψ3ψ4汇点o是奇点r→0ur→∞也满足同理，对无旋流：——势流叠加原理势流叠加原理将驻点坐标代入流函数，得则通过驻点的流线方程为给出各θ值，即可由上式画出通过驻点的流线流线以　　　　　为渐进线外区——均匀来流区；内区——源的流区（“固化”、半体）源流和汇流的叠加当a→0，q→∞，2qa→常数M偶极流利用三角

7、函数恒等式、级数展开，化简a→0：偶极流Ψ=Cφ=C源流和源流的叠加源流和环流的叠加（流线与等势线为相互正交的对数螺旋线族）离心泵的叶片形状