《连续函数的性质》PPT课件

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1、§4.2连续函数的性质在本节中,我们将介绍连续函数的局部性质与一、连续函数的局部性质二、闭区间上连续函数的基本性质有关函数极限的诸多性质也可以移到连续函数中来.。整体性质。函数的连续是由极限来定义的，因而在本节，我们将首先学习：一、连续函数的局部性质所谓连续函数局部性质就是指:连续(左连续或右连续),则可推知f在点x0的某号性、四则运算的保连续性等性质.个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保故

2、f(x)

3、的一个明确的上界.证注意:我们在证明有界性时,而不是用术语定理4.2（局部有界性）则定理4.3（局部保号性）则对任意一个满足证注在具体应用保号性时,我们经常取于是证得定理4.4（连续

4、函数的四则运算）此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得也是连续函数.我们知道,常函数与线性函数都是R上到,具体过程请读者自行给出.的连续函数,故由四则运算性质,易知多项式函数同理,有理函数(分母不为零)同样是连续函数.下面这个定理刻划了连续这个性质在复合运算下定理4.5是不变的.证于是对这个定理我们再作一些讨论,以加深大家对该定请大家仔细观察定理4.5的证明,看看此时究竟哪理的认识.里出了错.应用定理4.5,就得到所(*)式相应的结论仍旧是成立的.则有改为需要的结论.事实上,只要补充定义（或者重新定义）上述(1)和(2)究竟有什么本质的区别呢?请读者作例1解合，所以出进一步的讨论.均有

5、使得对一切存在,,0DxDxÎÎ在本节中将研究f在二、闭区间上连续函数的性质定义1若点,既无最大值,又无最小值.定理4.6（最大、最小值定理）例如,符号函数的最大值为1,最小值为-1;的最大值为1,最小值为-1;函数(其上确界为1,下确界为-1)这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的推论这是因为由定理4.6可知,值,从而有上界与下界,于是f(x)在[a,b]上是有虽然也是连续函数,但是内涵,在今后的学习中有很广泛的应用.界的.这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性定理4.7（介值性定理）上连续,则(至少)存在一点质有着根本的区别.从几何上看,当连续曲线从水平直线的一侧穿到另一侧时,

6、两者至少有一个交点.推论（根的存在性定理）应当注意,此推论与定理4.7是等价的.于是,只要则至少存在一点使下面用确界定理来证明上述推论,大家要注意学习证明了推论,也就完成了定理4.7证明.确界定理的使用方法.(E为图中x轴上的红证不妨设并设零点.证明如下：的最大值就是函数的线部分)从几何上看,E因为所以又E是有界的,故由确我们来否定下面两种情形:1.由f(x)在点是连续的,根据保号性,存在界定理,存在，显然2.同样根据保号性,同时由x0=supE,对上述d,存在排除了上面两种情形后,就推得由介值性定理与最大、最小值定理立刻得到如下下面再举一些应用介值性定理的例题.设在上连续,那么它的最大值

7、M与最结论:小值m存在,并且证先证存在性：由极限的保号使使得(读作r的n次算术根).例2则存在唯一的正数连续，再证唯一性:设正数使得，则有由于第二个括号内的数为正数，所以只能即得证。小结本次课上我们结合函数极限的性质，学习了连续函数的一些性质，有连续函数的局部保号性、局部有界性、四则运算法则、复合函数的连续性；闭区间上连续函数的最值定理，介值性定理等等。时间原因，没能准备反函数连续性和一致连续的相关知识，希望大家课下自己看一下。谢谢！函数极限的相关性质1.局部有界性若存在，则在的某空心邻域内有界。2.保不等式性设与都存在，且在某邻域内有则3.四则运算法则等